Cho biểu thức P= 1+ x+3/x2+5x+6 : ( 8x2/ 4x3-8x2 - 3x/ 3x2-12 -1/x+2)

A) Để rút gọn biểu thức P, ta cần tìm tổng chung của các phân số trong biểu thức.

Phân tích các phân số trong biểu thức:
1 + x + 3/x^2 + 5x + 6 = (x^2 + 6x + 3 + 5x^3 + 30x^2 + 15x) / x^2
= (5x^3 + 31x^2 + 21x + 3) / x^2

8x^2 / (4x^3 - 8x^2 - 3x) = 8x^2 / (x(4x^2 - 8x - 3))
= 8x^2 / (x(2x - 3)(2x + 1))

-3x / (3x^2 - 12) = -3x / (3(x^2 - 4))
= -x / (x^2 - 4)

-1 / (x + 2)

Tổng chung của các phân số là:
P = (5x^3 + 31x^2 + 21x + 3) / x^2 * 8x^2 / (x(2x - 3)(2x + 1)) * -x / (x^2 - 4) * -1 / (x + 2)
= (5x^3 + 31x^2 + 21x + 3) / ((x^2 - 4)(2x - 3)(2x + 1)(x + 2))

B) Để tìm các giá trị của x để P = 0, ta giải phương trình:
(5x^3 + 31x^2 + 21x + 3) / ((x^2 - 4)(2x - 3)(2x + 1)(x + 2)) = 0

C) Để tìm các giá trị của x để P > 0, ta cần xác định dấu của tử số và mẫu số.

Tử số (5x^3 + 31x^2 + 21x + 3) > 0 khi và chỉ khi x > -2 và x ≠ -1/2

Mẫu số ((x^2 - 4)(2x - 3)(2x + 1)(x + 2)) > 0 khi và chỉ khi:
- (x^2 - 4) > 0 (vì mẫu số có các thừa số bậc 2)
- (2x - 3) > 0 (vì mẫu số có các thừa số bậc 1)
- (2x + 1) > 0 (vì mẫu số có các thừa số bậc 1)
- (x + 2) > 0 (vì mẫu số có các thừa số bậc 1)

Từ các điều kiện trên, ta có:
- x^2 - 4 > 0 khi và chỉ khi x < -2 hoặc x > 2
- 2x - 3 > 0 khi và chỉ khi x > 3/2
- 2x + 1 > 0 khi và chỉ khi x > -1/2
- x + 2 > 0 khi và chỉ khi x > -2

Vậy, để P > 0, ta cần x > 3/2.