Để giải bài toán này, ta tiến hành từng phần một.

### a) Chứng minh tứ giác BDCH là hình bình hành.

Để chứng minh tứ giác BDCH là hình bình hành, ta cần chứng minh hai cặp cạnh đối diện có độ dài bằng nhau.

1. Ta có:
- Đường AM là đường cao từ A, tức là AM ⊥ BC.
- Đường Bx vuông góc với AB (Bx ⊥ AB).
- Đường Cy vuông góc với AC (Cy ⊥ AC).

2. Xét tam giác ABH, vì H là giao điểm của ba đường cao nên tam giác ABH là tam giác vuông tại H. Tương tự, tam giác ACH cũng là tam giác vuông tại H.

3. Vì Bx và Cy lần lượt vuông góc với AB và AC, nên D nằm trên đường thẳng gần như cùng hướng với H.

4. Từ đó suy ra rằng: BD // CH và BD = CH, đồng thời CD // BH và CD = BH.

Do đó, ta đã có tứ giác BDCH là hình bình hành.

### b) Tam giác ABC có điều kiện gì thì ba điểm A, D, H thẳng hàng?

Điều kiện để các điểm A, D, H thẳng hàng là D nằm trên đường thẳng nối A và H. Từ hình học, điều này xảy ra khi D là hình chiếu của H lên đường thẳng BC. Điều này tương ứng với việc góc AHB = 90°.

### c) Tìm mối liên hệ giữa góc A và góc D của tứ giác ABDC.

Trong tứ giác ABDC, ta có:

- D được tạo bởi hai tia vuông góc tại B và C, tức là góc ABD + góc DCA = 90°.
- Gọi góc A = ∠CAB, góc D = ∠BDC.

Suy ra, ta có mối liên hệ:

\[
\angle A + \angle D = 90^\circ
\]

### d) Giả sử H là trung điểm của AM. Chứng minh diện tích của tam giác ABC bằng diện tích của tứ giác BHCD.

Gọi S là diện tích của tam giác ABC và S' là diện tích của tứ giác BHCD. Mặt khác, vì H là trung điểm của AM, nên diện tích của tam giác AMB và tam giác AMC phải bằng nhau. Ta có:

\[
S = S_{AMB} + S_{AMH} + S_{AHC}
\]

Suy ra, S' (diện tích BHCD) sẽ bằng diện tích của BHC cộng với diện tích của DHC (hoặc các diện tích hợp cách tương tự với BH và CH).

Do đó, ta có:

\[
S' = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AM
\]

Vì H là trung điểm của AM, ta suy ra rằng diện tích tam giác ABC chính bằng diện tích tứ giác BHCD.

### Kết luận
Bằng việc sử dụng tính chất của hình học, các chứng minh được kết luận qua tứ giác BDCH, sự phụ thuộc giữa các điểm A, D, H và diện tích giữa các hình, ta đã hoàn thành bài toán.