Ta có: AB = BC = CD = DA (gt)

AM = BN = CP = DQ (gt)

Suy ra: PD = QA = MB = NC

* Xét ΔCPN và ΔDQP,ta có:

CP = DQ (gt)

góc (PCN) = góc (PDQ) = 90°

NC = DP (chứng minh trên)

Suy ra: △CPN = △DQP (c.g.c) ⇒ PN = PQ (1)

* Xét △DQPvà △AMQ,ta có: DQ=AM (gt)

             góc(QDP) = ∠(MAQ) = 90°
            PD = QA ( chứng minh trên)

Suy ra: △DQP = △AMQ (c.g.c) ⇒ PQ = QM (2)

* Xét △AMQ và △BNM,ta có: AM=BN (gt)

            góc A = góc B = 90 độ

             BM = AQ ( chứng minh trên)

Suy ra: △AMQ = △BNM (c.g.c) ⇒ QM = MN (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: QP =PN = NM = MQ 

Hay tứ giác MNPQ là hình thoi.

Mặt khác: △CPN = △PDQ

⇒ ∠(CNP) = ∠(DPQ)

Mà ∠(CNP) + ∠(CPN) = 90 độ

⇒ ∠(DPQ) + ∠(CPN) = 90 độ

Ta có: ∠(DPQ) + ∠(QPN) + ∠(NPC ) = 180 độ

Suy ra: ∠(QPN ) = 180° -( ∠(DPQ ) + ∠(NPC) )= 180° - 90° = 90°

Vậy tứ giác MNPQ là hình vuông.

Tứ giác ABCD là hình vuông \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}AB=BC=CD=AD\\\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}=\widehat{D}=90^0\end{cases}}\)

Mà \(AM=BN=CP=DQ\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow AB-AM=BC-BN=CD-CP=AD-DQ\)

\(\Rightarrow BM=CN=DP=AQ\)

Xét các tam giác AQM, BMN, CNP và DPQ, ta có:

\(AM=BN=CP=DQ\left(gt\right)\); \(\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}=\widehat{D}\left(cmt\right)\)và \(AQ=BM=CN=DP\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\Delta AQM=\Delta BMN=\Delta CNP=\Delta DPQ\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}QM=MN=NP=PQ\\\widehat{AQM}=\widehat{BMN}\end{cases}}\)\(\Rightarrow\)Tứ giác MNPQ là hình thoi.

Vì \(\Delta AMQ\)vuông tại A nên \(\widehat{AQM}+\widehat{AMQ}=90^0\), mà \(\widehat{AQM}=\widehat{BMN}\left(cmt\right)\Rightarrow\widehat{AMQ}+\widehat{BMN}=90^0\)

Lại có \(\widehat{NMQ}=180^0-\left(\widehat{AMQ}+\widehat{BMN}\right)=180^0-90^0=90^0\)

Hình thoi MNPQ (cmt) có \(\widehat{NMQ}=90^0\left(cmt\right)\Rightarrow\)MNPQ là hình vuông (đpcm)