Để tìm số tự nhiên n thỏa mãn các số 9n+24 và 3n+4 là các số nguyên tố cùng nhau, ta cần tìm ước chung lớn nhất (UCLN) của hai số này.

Ta có:
UCLN(9n+24, 3n+4) = UCLN(3(3n+8), 3n+4) = UCLN(3n+8, 3n+4)

Để hai số này là các số nguyên tố cùng nhau, UCLN(3n+8, 3n+4) phải bằng 1.

Ta có:
UCLN(3n+8, 3n+4) = UCLN(3n+8 - (3n+4), 3n+4) = UCLN(4, 3n+4)

Vì 4 không phải là số nguyên tố, nên để UCLN(4, 3n+4) = 1, ta cần 3n+4 không chia hết cho 2.

Điều này đồng nghĩa với việc n không chia hết cho 2.

Vậy, để các số 9n+24 và 3n+4 là các số nguyên tố cùng nhau, n không chia hết cho 2.

Để tìm số tự nhiên n thỏa mãn các số 18n+3 và 31n+7 là các số nguyên tố cùng nhau, ta cũng cần tìm UCLN của hai số này.

Ta có:
UCLN(18n+3, 31n+7) = UCLN(3(6n+1), 31n+7) = UCLN(6n+1, 31n+7)

Để hai số này là các số nguyên tố cùng nhau, UCLN(6n+1, 31n+7) phải bằng 1.

Ta có:
UCLN(6n+1, 31n+7) = UCLN(31n+7 - 5(6n+1), 6n+1) = UCLN(2, 6n+1)

Vì 2 là số nguyên tố, nên để UCLN(2, 6n+1) = 1, ta cần 6n+1 không chia hết cho 2.

Điều này đồng nghĩa với việc n chia hết cho 2.

Vậy, để các số 18n+3 và 31n+7 là các số nguyên tố cùng nhau, n phải chia hết cho 2.