Để chứng minh rằng 3n+11 và 3n+2 là hai số nguyên tố cùng nhau với mọi số tự nhiên n, ta sẽ sử dụng phương pháp giả sử ngược.

Giả sử rằng 3n+11 và 3n+2 không phải là hai số nguyên tố cùng nhau với mọi số tự nhiên n. Điều này có nghĩa là tồn tại một số tự nhiên n sao cho 3n+11 và 3n+2 có một ước chung lớn hơn 1.

Gọi d là ước chung lớn nhất của 3n+11 và 3n+2. Khi đó, ta có:

3n+11 ≡ 0 (mod d) và 3n+2 ≡ 0 (mod d)

Từ đó suy ra:

3n ≡ -11 (mod d) và 3n ≡ -2 (mod d)

Do 3 và d không có ước chung, nên ta có:

n ≡ -11*3^(-1) (mod d) và n ≡ -2*3^(-1) (mod d)

Từ đó suy ra:

n ≡ -11*3^(-1) (mod d) và n ≡ -2*3^(-1) (mod d)

Vì -11*3^(-1) và -2*3^(-1) là hai số nguyên, nên n cũng phải là một số nguyên.

Tuy nhiên, ta thấy rằng nếu n là một số nguyên, thì n ≡ -11*3^(-1) (mod d) và n ≡ -2*3^(-1) (mod d) không thể đồng thời xảy ra. Điều này phản chứng giả sử ban đầu.

Vậy, giả sử ban đầu là sai và ta kết luận rằng 3n+11 và 3n+2 là hai số nguyên tố cùng nhau với mọi số tự nhiên n.