a) Ta có thể chứng minh BK=CH bằng cách sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông AHB và AHC. Ta có:

AH^2 + HB^2 = AB^2

AH^2 + HC^2 = AC^2

Vì AH là cạnh huyền của tam giác vuông AHB và AHC nên ta có:

HB^2 = AC^2 - AH^2 = HC^2

Do đó, BK=BD+DK=BD+DC=BC/2=CH.

b) Ta có thể tính các đoạn thẳng CD và KM bằng cách sử dụng định lý Euclid Pythagoras (còn gọi là định lý Pythagore mở rộng) trong tam giác vuông ACM và BDM. Ta có:

CD^2 = CM^2 + MD^2 = (AC^2 - AM^2) + (BD^2 - BM^2)

KM^2 = BM^2 + BK^2 = BM^2 + (BC - CK)^2

Ta cần so sánh CD^2 và KM^2 để xác định được điều kiện CD > KM hay không. Thay vào đó các công thức ở trên và tối giản ta được:

CD^2 - KM^2 = AC^2 - 2AM^2 - BC^2 + 2BC.CK

Vì BK=CH nên ta có CK=BH=BC/2, từ đó suy ra:

CD^2 - KM^2 = AC^2 - 2AM^2 - BC^2 + BC^2 = AC^2 - 2AM^2

Do đó, để CD > KM thì điều kiện cần và đủ là AM < AC/√2.

c) Ta có thể chứng minh D, M, K thẳng hàng bằng cách sử dụng định lí thales cho các tam giác BDE và CDE. Ta có:

DE/DB = DA/DM và DE/DC = DA/DK

Vậy, ta có:

DB.DM = DE^2 = DA^2 = DC.DK

điều này suy ra DM=CK/2, tức là D,M,K thẳng hàng.