Để chứng minh rằng 3a + 4b và 4a + 5b cùng là hai số nguyên tố cùng nhau, ta sẽ sử dụng định lý Euclid.

Giả sử (3a + 4b) và (4a + 5b) không cùng là hai số nguyên tố cùng nhau. Điều này có nghĩa là tồn tại một số nguyên d > 1 mà d chia cả 3a + 4b và 4a + 5b.

Ta có:
3a + 4b ≡ 0 (mod d) (1)
4a + 5b ≡ 0 (mod d) (2)

Từ (1), ta có:
3a ≡ -4b (mod d)

Nhân cả hai vế của phương trình trên với 4, ta có:
12a ≡ -16b (mod d)

Từ (2), ta có:
4a ≡ -5b (mod d)

Nhân cả hai vế của phương trình trên với 3, ta có:
12a ≡ -15b (mod d)

So sánh hai phương trình trên, ta có:
-16b ≡ -15b (mod d)

Từ đó suy ra:
b ≡ 0 (mod d)

Vì a và b là hai số nguyên tố cùng nhau, nên b không chia hết cho d. Do đó, ta có:
b ≡ 0 (mod d) (3)

Từ (3), ta có:
4a + 5b ≡ 0 (mod d)

Từ (2), ta có:
4a ≡ 0 (mod d)

Vì a và b là hai số nguyên tố cùng nhau, nên a không chia hết cho d. Do đó, ta có:
4a ≡ 0 (mod d) (4)

Từ (4), ta có:
4a + 5b ≡ 0 (mod d)

So sánh hai phương trình trên, ta có:
5b ≡ 0 (mod d)

Vì a và b là hai số nguyên tố cùng nhau, nên b không chia hết cho d. Do đó, ta có:
5b ≡ 0 (mod d) (5)

Từ (5), ta có:
4a + 5b ≡ 0 (mod d)

Từ (2), ta có:
4a ≡ 0 (mod d)

So sánh hai phương trình trên, ta có:
4a ≡ 0 (mod d)

Vì a và b là hai số nguyên tố cùng nhau, nên a không chia hết cho d. Do đó, ta có:
4a ≡ 0 (mod d) (6)

Từ (6), ta có:
4a + 5b ≡ 0 (mod d)

So sánh hai phương trình trên, ta có:
5b ≡ 0 (mod d)

Vì a và b là hai số nguyên tố cùng nhau, nên b không chia hết cho d. Do đó, ta có:
5b ≡ 0 (mod d) (7)

Từ (7), ta có:
4a + 5b ≡ 0 (mod d)

So sánh hai phương trình trên, ta có:
0 ≡ 0 (mod d)

Điều này có nghĩa là d chia hết cho 0, điều này là không thể xảy ra.

Vậy giả sử sai ban đầu là không đúng, tức là 3a + 4b và 4a + 5b cùng là hai số nguyên tố cùng nhau.