Để tìm các số nguyên x, y, z thỏa mãn phương trình 3x^2 + 6y^2 + 2z^2 + 3y^2z^2 - 18x = 6, ta có thể giải phương trình này bằng cách sử dụng phương pháp hoàn thiện khối vuông.

Đầu tiên, ta nhóm các thành phần chứa x lại và các thành phần chứa y, z lại:
3x^2 - 18x + 6 + 6y^2 + 2z^2 + 3y^2z^2 = 0

Tiếp theo, ta hoàn thiện khối vuông cho phần tử chứa x bằng cách thêm vào cả hai vế của phương trình một số hạng bằng bình phương của một nửa hệ số của x:
3(x^2 - 6x + 9) + 6y^2 + 2z^2 + 3y^2z^2 = 33

Simplifying, we have:
3(x - 3)^2 + 6y^2 + 2z^2 + 3y^2z^2 = 33

Tiếp theo, ta hoàn thiện khối vuông cho phần tử chứa y bằng cách thêm vào cả hai vế của phương trình một số hạng bằng bình phương của một nửa hệ số của y:
3(x - 3)^2 + 6(y^2 + y + 1/4) + 2z^2 + 3y^2z^2 = 33 + 6/4

Simplifying, we have:
3(x - 3)^2 + 6(y + 1/2)^2 + 2z^2 + 3y^2z^2 = 35/2

Cuối cùng, ta hoàn thiện khối vuông cho phần tử chứa z bằng cách thêm vào cả hai vế của phương trình một số hạng bằng bình phương của một nửa hệ số của z:
3(x - 3)^2 + 6(y + 1/2)^2 + 2(z^2 + z + 1/4) + 3y^2(z + 1/2)^2 = 35/2 + 2/4

Simplifying, we have:
3(x - 3)^2 + 6(y + 1/2)^2 + 2(z + 1/2)^2 + 3y^2(z + 1/2)^2 = 37/2

Đây là một phương trình của một hình cầu trong không gian ba chiều. Để tìm các số nguyên x, y, z thỏa mãn phương trình ban đầu, ta cần tìm các giá trị nguyên của x, y, z sao cho phương trình trên cũng là một phương trình của một hình cầu.

Với mỗi giá trị nguyên của x, ta có thể giải phương trình trên để tìm các giá trị nguyên của y và z. Sau đó, ta kiểm tra xem các giá trị nguyên tìm được có thỏa mãn phương trình ban đầu không.

Vì đây là một phương trình phức tạp, việc tìm tất cả các giá trị nguyên x, y, z thỏa mãn phương trình ban đầu có thể mất nhiều thời gian và công sức.