a) Ta có AM = MB và AN = NC (do M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC). Vì vậy, ta có AM = MB = AN = NC. Do đó, AMNP là hình chữ nhật.

b) Gọi H là trung điểm của MN. Ta cần chứng minh AHBN là hình thoi. Ta có MN = MH (do H là trung điểm của MN). Vì tam giác ABC vuông tại A, nên ta có góc BAC = 90 độ. Khi đó, ta có góc MHN = 90 độ - góc BAC = 90 độ - 90 độ = 0 độ. Vậy, ta có MH = MN = 0, tức là MH = 0. Do đó, AHBN là hình thoi.

c) Ta cần chứng minh AN, MP, HC đồng quy tại 1 điểm. Gọi điểm đồng quy này là K. Ta cần chứng minh K nằm trên cả 3 đường thẳng AN, MP, HC.

- Ta có AM = MB và AN = NC (do M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC). Vì vậy, ta có AM || NC và AN || MB. Khi đó, theo định lí Thales, ta có AN/AM = NC/MB = AC/AB. Vậy, ta có AN/AM = AC/AB.

- Ta có MP || AC (do M là trung điểm của AB và P là trung điểm của AC). Khi đó, theo định lí Thales, ta có MP/AC = MN/AN = BC/AB. Vậy, ta có MP/AC = BC/AB.

- Ta có HC || BC (do H là trung điểm của MN và C là trung điểm của AC). Khi đó, theo định lí Thales, ta có HC/BC = HM/MN = AC/AB. Vậy, ta có HC/BC = AC/AB.

Từ các phương trình trên, ta có AN/AM = MP/AC = HC/BC. Vậy, ta có AN, MP, HC đồng quy tại 1 điểm.

d) Để tứ giác AHBC là hình thang cân, ta cần có AH = BC. Vì tam giác ABC vuông tại A, nên ta có góc BAC = 90 độ. Khi đó, ta có góc BAH = 90 độ - góc ABC = 90 độ - 90 độ = 0 độ. Vậy, ta có AH = AB = BC. Do đó, để tứ giác AHBC là hình thang cân, ta cần có AB = BC.