a) Ta có AM là đường trung bình của tam giác ABC nên AM là đường cao của tam giác ABC. Vì tam giác ABC vuông tại A nên AM là đường cao vuông góc với BC. Từ đó suy ra tứ giác AMNB là hình vuông.

b) Ta có BM song song với AC và MN song song với AB. Vì BM và AC là hai đường thẳng song song nên góc BMN = góc BAC. Tương tự, góc MNB = góc ABC. Nhưng tam giác ABC là tam giác vuông tại A nên góc BAC = 90 độ. Do đó, góc BMN = góc BAC = 90 độ và góc MNB = góc ABC = 90 độ. Từ đó suy ra tứ giác BMCD là hình bình hành.

c) Để chứng minh 3 đường thẳng AK, BC, MN đồng quy, ta cần chứng minh rằng tứ giác AMNB là tứ giác điều hòa. Điều này tương đương với việc chứng minh tỉ số AM/AN = BM/BN.

Ta có AM là đường cao của tam giác ABC nên AM = 2AB. Vì MN song song với AB nên tỉ số AM/AN = AB/BN. Từ đó suy ra tỉ số AM/AN = BM/BN.

Vậy ta có tứ giác AMNB là tứ giác điều hòa, từ đó suy ra 3 đường thẳng AK, BC, MN đồng quy.

d) Ta có AH là đường cao của tam giác ABC nên AH vuông góc với BC. BM là đường thẳng song song với AC nên góc BMH = góc BAC = 90 độ. Từ đó suy ra góc BMH = góc BAC = 90 độ và góc BAH = góc ABC = 90 độ. Do đó, tứ giác AENF là tứ giác nội tiếp trong đó góc AEF = góc ANF = 90 độ.

Vậy tứ giác AENF là tứ giác hình thoi.