Để giải phương trình này, ta cần thực hiện các bước sau:

Bước 1: Bình phương cả hai vế của phương trình để loại bỏ dấu căn:
(√( 4x + 4 ) + √( 25x + 25 ))^2 = 21^2
(4x + 4) + 2√((4x + 4)(25x + 25)) + (25x + 25) = 441
4x + 4 + 2√((4x + 4)(25x + 25)) + 25x + 25 = 441
29x + 29 + 2√((4x + 4)(25x + 25)) = 441

Bước 2: Di chuyển các số hạng không chứa căn về một vế và căn về một vế:
2√((4x + 4)(25x + 25)) = 441 - 29x - 29
√((4x + 4)(25x + 25)) = (441 - 29x - 29)/2
(4x + 4)(25x + 25) = ((441 - 29x - 29)/2)^2

Bước 3: Giải phương trình bậc hai thu được từ bước 2:
(4x + 4)(25x + 25) = ((441 - 29x - 29)/2)^2
(4x + 4)(25x + 25) = (441 - 29x - 29)^2/4
(4x + 4)(25x + 25) = (412 - 29x)^2/4
(4x + 4)(25x + 25) = (412 - 29x)(412 - 29x)/4
(4x + 4)(25x + 25) = (412 - 29x)^2/4

Bước 4: Giải phương trình bậc hai thu được từ bước 3:
(4x + 4)(25x + 25) = (412 - 29x)^2/4
100x^2 + 100x + 100 = (412 - 29x)^2/4
400x^2 + 400x + 400 = (412 - 29x)^2

Bước 5: Giải phương trình bậc hai thu được từ bước 4:
400x^2 + 400x + 400 = (412 - 29x)^2
400x^2 + 400x + 400 = 412^2 - 2*412*29x + (29x)^2
400x^2 + 400x + 400 = 169744 - 23984x + 841x^2
841x^2 - 23984x + 169344 = 0

Bước 6: Giải phương trình bậc hai thu được từ bước 5:
Giải phương trình bậc hai này bằng cách sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:
x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)

Ở đây, a = 841, b = -23984, c = 169344.

x = (-(-23984) ± √((-23984)^2 - 4*841*169344))/(2*841)
x = (23984 ± √(574081536 - 57025664))/(1682)
x = (23984 ± √(517055872))/(1682)
x = (23984 ± 22736)/(1682)

Vậy, ta có hai nghiệm của phương trình là:
x1 = (23984 + 22736)/(1682) ≈ 29.9
x2 = (23984 - 22736)/(1682) ≈ 7.1

Vậy, phương trình √( 4x + 4 ) + √( 25x + 25 ) = 21 có hai nghiệm x1 ≈ 29.9 và x2 ≈ 7.1.