Một gia đình cần ít nhất 900 đơn vị protein và 400 đơn vị lipid trong thức ăn mỗi ngày

Giả sử gia đình mua x kilogram thịt bò và y kilogram thịt lợn.

Tổng số đơn vị protein từ thịt bò là 800x và từ thịt lợn là 600y.
Tổng số đơn vị lipid từ thịt bò là 200x và từ thịt lợn là 400y.

Theo yêu cầu, tổng số đơn vị protein phải ít nhất là 900 và tổng số đơn vị lipid phải ít nhất là 400. Ta có hệ phương trình sau:

800x + 600y ≥ 900
200x + 400y ≥ 400

Giá tiền mua x kilogram thịt bò là 160x nghìn đồng và y kilogram thịt lợn là 110y nghìn đồng. Tổng số tiền phải trả là:

160x + 110y

Gia đình chỉ mua nhiều nhất là 1,6kg thịt bò và 1,1kg thịt lợn, nghĩa là:

x ≤ 1.6
y ≤ 1.1

Để tìm giá trị của x^2 + y^2, ta có thể sử dụng phương pháp đồ thị hoặc phương pháp giải hệ phương trình. Dưới đây là phương pháp giải hệ phương trình:

Đặt hệ phương trình gốc thành hệ phương trình tương đương:

800x + 600y - 900 ≥ 0
200x + 400y - 400 ≥ 0
x - 1.6 ≤ 0
y - 1.1 ≤ 0

Sử dụng phương pháp đối ngẫu KKT (Karush-Kuhn-Tucker), ta có:

L(x, y, λ) = 160x + 110y + λ₁(800x + 600y - 900) + λ₂(200x + 400y - 400) + λ₃(x - 1.6) + λ₄(y - 1.1)

Trong đó, λ₁, λ₂, λ₃, λ₄ là các hệ số Lagrange.

Điều kiện KKT:

λ₁(800x + 600y - 900) = 0
λ₂(200x + 400y - 400) = 0
λ₃(x - 1.6) = 0
λ₄(y - 1.1) = 0
800x + 600y - 900 ≥ 0
200x + 400y - 400 ≥ 0
x - 1.6 ≤ 0
y - 1.1 ≤ 0

Giải hệ phương trình trên, ta có các trường hợp sau:

1. Nếu λ₁ = λ₂ = λ₃ = λ₄ = 0, ta có:

800x + 600y - 900 = 0
200x + 400y - 400 = 0
x - 1.6 = 0
y - 1.1 = 0

Giải hệ phương trình này, ta tìm được x = 1.2 và y = 1.1.

2. Nếu λ₁ > 0, λ₂ = λ₃ = λ₄ = 0, ta có:

800x + 600y - 900 = 0
200x + 400y - 400 = 0
x - 1.6 ≤ 0
y - 1.1 ≤ 0

Giải hệ phương trình này, ta tìm được x = 1.6 và y = 1.1.

3. Nếu λ₂ > 0, λ₁ = λ₃ = λ₄ = 0, ta có:

800x + 600y - 900 ≥ 0
200x + 400y - 400 = 0
x - 1.6 = 0
y - 1.1 ≤ 0

Giải hệ phương trình này, ta tìm được x = 1.6 và y = 1.1.

4. Nếu λ₃ > 0, λ₁ = λ₂ = λ₄ = 0, ta có:

800x + 600y - 900 = 0
200x + 400y - 400 ≥ 0
x - 1.6 ≤ 0
y - 1.1 = 0

Giải hệ phương trình này, ta tìm được x = 1.2 và y = 1.1.

5. Nếu λ₄ > 0, λ₁ = λ₂ = λ₃ = 0, ta có:

800x + 600y - 900 ≥ 0
200x + 400y - 400 ≥ 0
x - 1.6 = 0
y - 1.1 = 0

Giải hệ phương trình này, ta tìm được x = 1.6 và y = 1.1.

Từ các trường hợp trên, ta thấy rằng x và y đều có giá trị tối đa là 1.6 và 1.1, không vượt quá giới hạn đã cho.

Vậy, x^2 + y^2 = 1.6^2 + 1.1^2 = 2.56 + 1.21 = 3.77.