Để phân tích đa thức P = x^4 - 6x^2 - 7x - 6 thành nhân tử, ta có thể sử dụng phương pháp phân tích đa thức bậc 4.

Đầu tiên, ta thử tìm các giá trị của x để đa thức P = 0 bằng cách sử dụng định lí Gauss. Điều này có nghĩa là ta thử tất cả các ước số của hệ số tự do (trong trường hợp này là -6) chia hết cho tất cả các ước số của hệ số bậc cao nhất (trong trường hợp này là 1).

Các ước số của -6 là ±1, ±2, ±3 và ±6.
Các ước số của 1 là ±1.

Ta thử các giá trị của x bằng cách thay thế vào đa thức P và kiểm tra xem kết quả có bằng 0 hay không.

Khi x = 1, ta có:
P = (1)^4 - 6(1)^2 - 7(1) - 6 = 1 - 6 - 7 - 6 = -18 ≠ 0

Khi x = -1, ta có:
P = (-1)^4 - 6(-1)^2 - 7(-1) - 6 = 1 - 6 + 7 - 6 = -4 ≠ 0

Khi x = 2, ta có:
P = (2)^4 - 6(2)^2 - 7(2) - 6 = 16 - 24 - 14 - 6 = -28 ≠ 0

Khi x = -2, ta có:
P = (-2)^4 - 6(-2)^2 - 7(-2) - 6 = 16 - 24 + 14 - 6 = 0

Khi x = 3, ta có:
P = (3)^4 - 6(3)^2 - 7(3) - 6 = 81 - 54 - 21 - 6 = 0

Khi x = -3, ta có:
P = (-3)^4 - 6(-3)^2 - 7(-3) - 6 = 81 - 54 + 21 - 6 = 42 ≠ 0

Khi x = 6, ta có:
P = (6)^4 - 6(6)^2 - 7(6) - 6 = 1296 - 216 - 42 - 6 = 1032 ≠ 0

Khi x = -6, ta có:
P = (-6)^4 - 6(-6)^2 - 7(-6) - 6 = 1296 - 216 + 42 - 6 = 1116 ≠ 0

Từ các giá trị trên, ta thấy rằng đa thức P có hai giá trị x = -2 và x = 3 làm cho P = 0. Điều này có nghĩa là (x + 2) và (x - 3) là nhân tử của đa thức P.

Sử dụng phương pháp chia đa thức, ta có thể chia P cho (x + 2) và (x - 3) để tìm các nhân tử khác (nếu có).