a. Ta có tam giác ABC vuông tại A, nên theo định lí đường cao, ta có:
AH là đường cao, nên AH vuông góc với BC.
BD là đường phân giác góc ABC, nên BD chia góc ABC thành hai góc bằng nhau, tức là ∠ABD = ∠CBD.
Vì tam giác ABC vuông tại A, nên ∠BAC = 90°.
Do đó, tam giác ABD và tam giác CBD có cạnh chung AB và cùng có góc ∠ABD = ∠CBD.
Vậy, theo định lí đường phân giác, ta có AD/DB = AC/BC.
Từ tam giác ABC vuông tại A, ta có AB/AC = AB/BC = 1.
Vậy, ta có tỉ số AI/AB = AI/(AC + AB) = AI/(AD + DB) = AI/AD + AI/DB = (AI/AD) + (AI/DB) = 1 + (AI/DB).
Tương tự, ta có tỉ số AD/AB = AD/(AC + AB) = AD/(AD + DB) = 1 - (DB/AD).
Vậy, tỉ số AI/AB = 1 + (AI/DB) và tỉ số AD/AB = 1 - (DB/AD).

b. Ta có ∠ABD = ∠CBD (do BD là đường phân giác góc ABC) và ∠BDA = ∠BDC (do BD là đường phân giác góc ABC).
Vậy, theo góc đồng nhất, ta có ∠ABD = ∠BDA và ∠CBD = ∠BDC.
Do đó, tam giác ABD và tam giác BDC có hai góc bằng nhau.
Vậy, theo định lí góc đồng nhất, ta có tam giác ABD cân tại A.

c. Ta có tam giác ABC vuông tại A, nên theo định lí đường cao, ta có:
AH là đường cao, nên AH vuông góc với BC.
BD là đường phân giác góc ABC, nên BD chia góc ABC thành hai góc bằng nhau, tức là ∠ABD = ∠CBD.
Vì tam giác ABC vuông tại A, nên ∠BAC = 90°.
Do đó, tam giác ABD và tam giác CBD có cạnh chung AB và cùng có góc ∠ABD = ∠CBD.
Vậy, theo định lí đường phân giác, ta có AD/DB = AC/BC.
Từ tam giác ABC vuông tại A, ta có AB/AC = AB/BC = 1.
Vậy, ta có tỉ số IH/BH = IH/(AH + AB) = IH/(AD + DB + AB) = IH/(AD + DB + AC) = IH/(AD + AC) = (IH/AD) + (IH/AC).
Tương tự, ta có tỉ số DC/BC = DC/(AD + DB) = DC/(AD + AC).
Vậy, tỉ số IH/BH = (IH/AD) + (IH/AC) và tỉ số DC/BC = DC/(AD + AC).