Cho tam giác ABC cân tại A

a) Ta có tam giác ABC cân tại A, nên góc BAC = góc BCA.

Gọi I là trung điểm của AC. Ta có MI song song với AB (do M là trung điểm của BC và AB // BC), nên góc MIA = góc BAC.

Tương tự, góc MIB = góc BCA.

Vậy góc MIA = góc MIB, suy ra tam giác MIA cân tại I.

b) Ta đã chứng minh được tam giác MIA cân tại I.

Gọi O là giao điểm của đường thẳng AM và đường thẳng BI.

Ta có góc BIA = góc BIM + góc MIA = góc BIM + góc MIB = góc BIM + góc BMI = 180°.

Vậy tam giác BIA là tam giác đều.

Do đó, AM là phân giác của góc BAC và AM vuông góc BC.

c) Ta đã chứng minh được AM là phân giác của góc BAC và AM vuông góc BC.

Gọi E là điểm bất kỳ trên đoạn AM.

Ta có góc EBC = góc ABC (do AB // EC) = góc ACB (do tam giác ABC cân tại A).

Tương tự, góc ECB = góc BCA.

Vậy góc EBC = góc ECB, suy ra tam giác EBC cân tại E.