Để tìm các số nguyên n thỏa mãn (n^2+2n-3) chia hết cho (n+1), ta sẽ sử dụng phương pháp chia dư.

Giả sử (n^2+2n-3) chia hết cho (n+1), tức là tồn tại một số nguyên k sao cho:

(n^2+2n-3) = k*(n+1)

Mở ngoặc ta có:

n^2 + 2n - 3 = kn + k

Đưa tất cả các thành phần chứa n về cùng một bên, các thành phần không chứa n về cùng một bên, ta có:

n^2 + (2-k)n - (3+k) = 0

Đây là một phương trình bậc 2. Để phương trình có nghiệm nguyên, ta cần điều kiện delta (D) là một số chính phương.

Delta (D) = (2-k)^2 - 4*(-(3+k)) = (2-k)^2 + 4(3+k)

Để D là một số chính phương, ta cần tìm các giá trị nguyên k sao cho (2-k)^2 + 4(3+k) là một số chính phương.

Dựa vào phân tích thừa số nguyên tố, ta thấy rằng một số chính phương luôn có dạng 4n hoặc 4n+1.

Vì vậy, ta sẽ thử các giá trị nguyên k từ -3 đến 3 để tìm các số nguyên n thỏa mãn:

- Khi k = -3:
D = (2-(-3))^2 + 4(3+(-3)) = 5^2 + 4(0) = 25
D không phải là số chính phương, vì vậy không có nghiệm nguyên n.

- Khi k = -2:
D = (2-(-2))^2 + 4(3+(-2)) = 4^2 + 4(1) = 20
D không phải là số chính phương, vì vậy không có nghiệm nguyên n.

- Khi k = -1:
D = (2-(-1))^2 + 4(3+(-1)) = 3^2 + 4(2) = 25
D là số chính phương, vì vậy có thể có nghiệm nguyên n.

- Khi k = 0:
D = (2-0)^2 + 4(3+0) = 4^2 + 4(3) = 28
D không phải là số chính phương, vì vậy không có nghiệm nguyên n.

- Khi k = 1:
D = (2-1)^2 + 4(3+1) = 1^2 + 4(4) = 17
D không phải là số chính phương, vì vậy không có nghiệm nguyên n.

- Khi k = 2:
D = (2-2)^2 + 4(3+2) = 0^2 + 4(5) = 20
D không phải là số chính phương, vì vậy không có nghiệm nguyên n.

- Khi k = 3:
D = (2-3)^2 + 4(3+3) = (-1)^2 + 4(6) = 25
D là số chính phương, vì vậy có thể có nghiệm nguyên n.

Từ các giá trị k tương ứng, ta có:

- Khi k = -1:
n^2 + (2-(-1))n - (3+(-1)) = 0
n^2 + 3n - 2 = 0
(n-1)(n+2) = 0
n = 1 hoặc n = -2

- Khi k = 3:
n^2 + (2-3)n - (3+3) = 0
n^2 - n - 6 = 0
(n-3)(n+2) = 0
n = 3 hoặc n = -2

Vậy các số nguyên n thỏa mãn là n = 1, n = -2 và n = 3.