Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): y = -3x + 3

a. Đường thẳng (d) có phương trình y = -3x + 3. Vì điểm C thuộc (d) và có hoành độ bằng -2, ta thay x = -2 vào phương trình (d) để tìm tung độ của điểm C:
y = -3(-2) + 3
y = 6 + 3
y = 9
Vậy tọa độ của điểm C là (-2, 9).

b. Để vẽ đường thẳng (d) và đường thẳng y = x + 6, ta cần tìm tọa độ giao điểm D của hai đường thẳng này. Để tìm tọa độ giao điểm, ta giải hệ phương trình:
y = -3x + 3
y = x + 6
Đặt hai phương trình bằng nhau:
-3x + 3 = x + 6
-4x = 3
x = -3/4
Thay x = -3/4 vào phương trình y = x + 6 để tìm tung độ của điểm D:
y = -3/4 + 6
y = 21/4
Vậy tọa độ của điểm D là (-3/4, 21/4).

c.1) Đường thẳng (d') đi qua điểm C và cắt đường thẳng y = -x - 7 tại một điểm trên tục tung. Để tìm phương trình của đường thẳng (d'), ta thay tọa độ của điểm C vào phương trình (d'):
y = 3mx - 2 + n
9 = 3m(-2) - 2 + n
9 = -6m - 2 + n
n = 9 + 6m + 2
n = 11 + 6m
Vậy phương trình của đường thẳng (d') là y = 3mx - 2 + 11 + 6m, hay y = 3mx + 6m + 9.

c.2) Đường thẳng (d') đi qua điểm D và song song với đường thẳng y = 5x - 3. Đường thẳng song song có cùng hệ số góc với đường thẳng y = 5x - 3, nên hệ số góc của đường thẳng (d') cũng là 5. Để tìm phương trình của đường thẳng (d'), ta thay tọa độ của điểm D vào phương trình (d'):
y = 3mx - 2 + n
21/4 = 3m(-3/4) - 2 + n
21/4 = -9m/4 - 2 + n
n = 21/4 + 9m/4 + 2
n = 29/4 + 9m/4
Vậy phương trình của đường thẳng (d') là y = 3mx - 2 + 29/4 + 9m/4, hay y = 3mx + 9m/4 + 21/4.

c.3) Đường thẳng (d') đi qua điểm C và tạo với trục hoành một góc bằng 45 độ. Góc giữa đường thẳng (d') và trục hoành là góc giữa đường thẳng (d') và đường thẳng y = 1x + 0. Vì góc giữa hai đường thẳng là 45 độ, nên hệ số góc của đường thẳng (d') là 1. Để tìm phương trình của đường thẳng (d'), ta thay tọa độ của điểm C vào phương trình (d'):
y = 3mx - 2 + n
9 = 3m(-2) - 2 + n
9 = -6m - 2 + n
n = 9 + 6m + 2
n = 11 + 6m
Vậy phương trình của đường thẳng (d') là y = 3mx - 2 + 11 + 6m, hay y = 3mx + 6m + 9.