Để tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác AHM, ta cần biết độ dài các cạnh của tam giác.

Trong tam giác ABC, ta có AB = 12 cm và AC = 16 cm. Vì tam giác ABC vuông tại A, nên ta có định lý Pythagoras: AB^2 + AC^2 = BC^2.

Thay giá trị vào, ta có: 12^2 + 16^2 = BC^2
=> 144 + 256 = BC^2
=> 400 = BC^2
=> BC = √400
=> BC = 20 cm.

Vì O là trung điểm của đường chéo AC, nên AO = CO = 16/2 = 8 cm.

Tam giác AHC là tam giác vuông tại H, nên ta có định lý Pythagoras: AH^2 + HC^2 = AC^2.
Thay giá trị vào, ta có: AH^2 + HC^2 = 16^2
=> AH^2 + (BC - BH)^2 = 16^2
=> AH^2 + (20 - BH)^2 = 16^2
=> AH^2 + (20 - BH)^2 = 256.

Tam giác ABH là tam giác vuông tại A, nên ta có định lý Pythagoras: AB^2 + BH^2 = AH^2.
Thay giá trị vào, ta có: AB^2 + BH^2 = AH^2
=> 12^2 + BH^2 = AH^2
=> 144 + BH^2 = AH^2.

Thay giá trị AH^2 + (20 - BH)^2 = 256 vào, ta có:
144 + BH^2 + (20 - BH)^2 = 256
=> 144 + BH^2 + 400 - 40BH + BH^2 = 256
=> 2BH^2 - 40BH + 400 - 112 = 0
=> 2BH^2 - 40BH + 288 = 0
=> BH^2 - 20BH + 144 = 0.

Giải phương trình trên, ta có:
BH = (20 ± √(20^2 - 4*1*144)) / (2*1)
= (20 ± √(400 - 576)) / 2
= (20 ± √(-176)) / 2.

Vì BH là đoạn thẳng nằm trong tam giác ABC, nên BH > 0. Do đó, ta chỉ lấy giá trị dương của BH:
BH = (20 + √(-176)) / 2.

Vì căn bậc hai của một số âm không tồn tại trong tập số thực, nên tam giác ABC không tồn tại.

Vậy, không có bán kính đường tròn nội tiếp tam giác AHM.