Chứng minh

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng một số kiến thức về hình học và tính chất của đường tròn và tam giác.

1. Chứng minh: A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn.
- Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC.
- Ta có: OA là đường phân giác góc BOC (do AB và AC là hai tiếp tuyến của đường tròn (O;R)).
- Vì vậy, ta có: ∠BOA = ∠COA.
- Do đó, tam giác BOM và COM là hai tam giác cân (do BM = CM và ∠BOM = ∠COM).
- Từ đó, ta có: ∠BMO = ∠CMO.
- Như vậy, ta có: ∠BMA = ∠CMA.
- Vì BM = CM, nên tam giác BMA và CMA là hai tam giác đồng dạng.
- Từ đó, ta suy ra: ∠BAM = ∠CAM.
- Vậy, ta có: ∠BAC = ∠BOC.
- Do đó, ta có: A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn.

2. Chứng minh: H là trung điểm của BC.
- Gọi N là trung điểm của đoạn thẳng OA.
- Ta có: ∠BAN = ∠CAN (do AB và AC là hai tiếp tuyến của đường tròn (O;R)).
- Vì NA = NB, nên tam giác BAN và CAN là hai tam giác đồng dạng.
- Từ đó, ta suy ra: ∠BNA = ∠CNA.
- Như vậy, ta có: ∠BNH = ∠CNH.
- Do đó, tam giác BNH và CNH là hai tam giác đồng dạng.
- Vì NH = NH, nên ta có: BH = CH.
- Vậy, ta suy ra: H là trung điểm của BC.

3. Chứng minh: OC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác BQC và CH.BM + IA.IH = IA.HK.
- Gọi I là giao điểm của đường thẳng AO và đường tròn (O;R).
- Ta có: ∠BIA = ∠BDA = 90° (do BD là đường kính của đường tròn (O;R)).
- Vì vậy, tam giác BIA là tam giác vuông tại I.
- Từ đó, ta suy ra: IA là đường cao của tam giác BIA.
- Do đó, ta có: IA.IH = IB.IK (do tam giác BIA và BIK đồng dạng).
- Vì BM = CM và ∠BMO = ∠CMO, nên tam giác BOM và COM là hai tam giác cân.
- Từ đó, ta suy ra: ∠BOM = ∠COM.
- Như vậy, ta có: ∠BOM + ∠COM = 180°.
- Do đó, tam giác BOC là tam giác nội tiếp.
- Vậy, ta có: ∠BOC = 180° - ∠BAC.
- Từ đó, ta suy ra: ∠BOC = ∠BQC (do A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn).
- Vì vậy, ta có: ∠BOC = ∠BQC = ∠BHC.
- Do đó, ta suy ra: OC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác BQC và CH.
- Vì H là trung điểm của BC, nên ta có: BM = CM = MH.
- Từ đó, ta suy ra: BM + IA.IH = IA.HK.

4. Vẽ hình hộ mình thui ạ.
- Để vẽ hình, chúng ta cần biết giá trị của R và OA.
- Sau đó, chúng ta có thể vẽ đường tròn (O;R) và điểm A nằm ngoài đường tròn sao cho OA < 2R.
- Tiếp theo, chúng ta vẽ các tiếp tuyến AB và AC từ điểm A đến đường tròn.
- Sau đó, chúng ta vẽ đoạn thẳng BC cắt OA tại H.
- Cuối cùng, chúng ta vẽ đường thẳng AO và kẻ đường kính BD của đường tròn (O;R).
- Tiếp theo, chúng ta kẻ đường thẳng vuông góc với tia AO từ điểm A và cắt tia DC tại điểm S.
- Tiếp theo, chúng ta kẻ đường kính IK của đường tròn (O;R).
- Cuối cùng, chúng ta kẻ tia B1 cắt tia AS tại điểm Q và kẻ đường thẳng DI cắt đoạn thẳng BC tại điểm M.