Để tìm số dư của A khi chia cho 3, ta cần xác định mẫu của A khi chia cho 3.

Ta thấy rằng chuỗi số 2^0, 2^1, 2^2, 2^3,... tạo thành một chu kỳ lặp lại với mẫu là 2, 1, 2, 1,...

Vậy, ta có thể viết A dưới dạng tổng của các chu kỳ này:

A = (2^0 + 2^1 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^99) + 2^100

Với chu kỳ (2^0 + 2^1 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^99), ta có:

(2^0 + 2^1 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^99) = (2 + 1 + 2 + 1 + ...) = (2 + 2 + ...) = 2 * (1 + 1 + ...) = 2 * (2^0 + 2^1 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^99)

Vậy, chu kỳ (2^0 + 2^1 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^99) có giá trị là 2 lần chu kỳ (2^0 + 2^1 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^99).

Tổng quát hơn, chu kỳ (2^0 + 2^1 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^n) có giá trị là 2 lần chu kỳ (2^0 + 2^1 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^(n-1)).

Áp dụng vào bài toán, ta có:

A = 2 * (2^0 + 2^1 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^99) + 2^100

= 2 * (2 * (2^0 + 2^1 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^98) + 2^99) + 2^100

= 2^2 * (2^0 + 2^1 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^98) + 2^99 + 2^100

= 2^2 * (2 * (2^0 + 2^1 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^97) + 2^98) + 2^99 + 2^100

= 2^3 * (2^0 + 2^1 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^97) + 2^98 + 2^99 + 2^100

= ...

= 2^100 * (2^0 + 2^1 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^0) + 2^1 + 2^2 + ... + 2^99 + 2^100

= 2^100 * (1) + (2^1 + 2^2 + ... + 2^99 + 2^100)

= 1 + (2^1 + 2^2 + ... + 2^99 + 2^100)

Vậy, A có thể viết dưới dạng 1 + (2^1 + 2^2 + ... + 2^99 + 2^100).

Ta thấy rằng chuỗi số 2^1, 2^2, 2^3,... tạo thành một chu kỳ lặp lại với mẫu là 2, 1, 2, 1,...

Vậy, chuỗi (2^1 + 2^2 + ... + 2^99 + 2^100) cũng tạo thành một chu kỳ lặp lại với mẫu là 2, 1, 2, 1,...

Vậy, (2^1 + 2^2 + ... + 2^99 + 2^100) có giá trị là 2 lần chu kỳ (2^1 + 2^2 + ... + 2^99 + 2^100).

Áp dụng vào bài toán, ta có:

A = 1 + (2^1 + 2^2 + ... + 2^99 + 2^100)

= 1 + 2 * (2^1 + 2^2 + ... + 2^99 + 2^100)

= 1 + 2^2 * (2^1 + 2^2 + ... + 2^98 + 2^99 + 2^100)

= 1 + 2^3 * (2^1 + 2^2 + ... + 2^98 + 2^99 + 2^100)

= ...

= 1 + 2^100 * (2^1 + 2^2 + ... + 2^1 + 2^2 + ... + 2^1)

= 1 + 2^100 * (100)

= 1 + 2^100 * 100

Vậy, A có thể viết dưới dạng 1 + 2^100 * 100.

Để tìm số dư của A khi chia cho 3, ta chỉ cần tìm số dư của 1 + 2^100 * 100 khi chia cho 3.

Số dư của 1 khi chia cho 3 là 1.

Số dư của 2^100 * 100 khi chia cho 3 là số dư của 2^100 khi chia cho 3 nhân với số dư của 100 khi chia cho 3.

Số dư của 2 khi chia cho 3 là 2.

Số dư của 2^2 khi chia cho 3 là 1.

Số dư của 2^3 khi chia cho 3 là 2.

...

Ta thấy rằng chuỗi số dư của 2^0, 2^1, 2^2, 2^3,... tạo thành một chu kỳ lặp lại với mẫu là 1, 2, 1, 2,...

Vậy, số dư của 2^100 khi chia cho 3 là số dư của 2^0 khi chia cho 3, tức là 1.

Số dư của 100 khi chia cho 3 là 1.

Vậy, số dư của 2^100 * 100 khi chia cho 3 là số dư của 1 khi chia cho 3 nhân với số dư của 1 khi chia cho 3, tức là 1.

Vậy, số dư của A khi chia cho 3 là số dư của 1 + 1 khi chia cho 3, tức là 2.