1) Ta có H là trung điểm AC nên OH song song với BC (do OH và BC cùng vuông góc với AC).

2) Gọi D là giao điểm của MA và đường tròn (O). Ta cần chứng minh AD vuông góc với OA.

Vì AC là tiếp tuyến tại C của đường tròn (O), nên góc OCA = 90°. Mà H là trung điểm AC, nên góc OCH = 90°.

Do đó, góc OCA = góc OCH = 90°.

Vì OCA = OCH, nên tam giác OCA đồng dạng với tam giác OCH.

Từ đó, ta có OA/OH = OC/OA.

Mà OA = OD (vì A, D cùng nằm trên đường tròn (O)), nên OA/OH = OC/OD.

Do đó, tam giác OAD đồng dạng với tam giác ODC.

Từ đó, ta có góc OAD = góc OCD.

Vì góc OCD = 90° (do OC là tiếp tuyến tại C của đường tròn (O)), nên góc OAD = 90°.

Vậy, MA là tiếp tuyến tại A của đường tròn (O).

3) Ta cần chứng minh I là trung điểm CK.

Gọi E là giao điểm của CK và BM.

Ta có: góc MCE = góc MBC (do MC là tiếp tuyến tại C của đường tròn (O)).

Vì góc MBC = góc MCE, nên tam giác MBC đồng dạng với tam giác MCE.

Từ đó, ta có MB/ME = MC/MC.

Mà MB = MC (vì M nằm trên đường tròn (O)), nên MB/ME = MC/MC.

Do đó, tam giác MBE đồng dạng với tam giác MCE.

Từ đó, ta có góc MBE = góc MCE.

Vì góc MCE = góc MBE, nên góc MCE = góc MBE = góc MBC.

Vậy, tam giác MBC cân tại M.

Vì N là giao điểm của AM và BC, nên góc MNC = góc MBC.

Vì tam giác MBC cân tại M, nên góc MBC = góc MCB.

Vậy, góc MNC = góc MCB.

Vì góc MCB = góc MNC, nên tam giác MCB đồng dạng với tam giác MNC.

Từ đó, ta có MC/MN = MB/MC.

Mà MB = MC (vì M nằm trên đường tròn (O)), nên MC/MN = MC/MC.

Do đó, tam giác MCN đồng dạng với tam giác MCM.

Từ đó, ta có góc MCN = góc MCM.

Vì góc MCM = 90° (do MC là tiếp tuyến tại C của đường tròn (O)), nên góc MCN = 90°.

Vậy, CN vuông góc với BC.

Vì I là trung điểm CK, nên CI = IK.

Vì CN vuông góc với BC, nên CN cắt BC ở trung điểm BC.

Do đó, I là trung điểm CK.

Vậy, I là trung điểm CK.