Chứng minh: HD = EC từ đó suy ra HD ⊥ BE

a) Ta có tam giác ABC vuông tại A và M là trung điểm của AC, do đó AM là đường trung bình của tam giác ABC. Vì vậy, ta có AM = MC.

Vì tam giác ABC vuông tại A nên đường cao AH cũng là đường trung tuyến của tam giác ABC. Do đó, ta có AH = 2HM.

Vậy tam giác AHM là tam giác vuông cân tại M.

Do đó, tam giác AHCD là hình chữ nhật vì hai cạnh AD và HC vuông góc với nhau và có độ dài bằng nhau (AH = CD).

b) Trên tia đối của tia HA, lấy điểm E sao cho HD = HA.

Vì tam giác AHM là tam giác vuông cân tại M, nên ta có HM = AM/2.

Vì M là trung điểm của AC, nên ta có AM = MC.

Vậy ta có HM = MC/2.

Vì HD = HA, nên ta có HD = HM + MD = MC/2 + MD.

Ta cần chứng minh rằng HD vuông góc với BE.

Gọi I là giao điểm của HD và BE.

Ta có HI vuông góc với BE (do HD vuông góc với BE).

Ta cần chứng minh rằng HI cắt BE tại trung điểm của BE.

Vì M là trung điểm của AC, nên ta có MI song song với BE (do M là trung điểm của AC và BE là đường chéo của hình chữ nhật AHCD).

Vậy ta có HI song song với BE (do HI và MI cùng vuông góc với BE).

Do đó, ta có HI cắt BE tại trung điểm của BE.

Vậy ta có HD vuông góc với BE (do HI vuông góc với BE và HI cắt BE tại trung điểm của BE).

Từ đó suy ra HD vuông góc với BE.