a) Để tính A, ta nhận thấy rằng chuỗi các số hạng trong A có quy luật là lần lượt lũy thừa của 5 với số mũ từ 50 đến 2, và dấu của mỗi số hạng xen kẽ là dương và âm. Ta có thể viết lại A dưới dạng tổng các số hạng dương và âm như sau:

A = 5^50 - 5^48 + 5^46 - 5^44 + ... + 5^6 - 5^4 + 5^2 + 1
= (5^50 + 5^46 + ... + 5^6 + 5^2) - (5^48 + 5^44 + ... + 5^4)

Nhận thấy rằng chuỗi các số hạng trong cặp ngoặc đầu tiên là một cấp số cộng với công sai là 5^2, và số hạng cuối cùng là 5^2. Áp dụng công thức tổng của cấp số cộng, ta có:

5^50 + 5^46 + ... + 5^6 + 5^2 = (5^2 + 5^4 + ... + 5^48 + 5^50) / (1 - 5^2)
= (5^2(1 - 5^48)) / (1 - 5^2)
= (5^2 - 5^50) / (1 - 5^2)

Tương tự, chuỗi các số hạng trong cặp ngoặc thứ hai cũng là một cấp số cộng với công sai là 5^4, và số hạng cuối cùng là 5^4. Áp dụng công thức tổng của cấp số cộng, ta có:

5^48 + 5^44 + ... + 5^4 = (5^4 + 5^8 + ... + 5^44 + 5^48) / (1 - 5^4)
= (5^4(1 - 5^44)) / (1 - 5^4)
= (5^4 - 5^48) / (1 - 5^4)

Thay vào biểu thức ban đầu, ta có:

A = (5^2 - 5^50) / (1 - 5^2) - (5^4 - 5^48) / (1 - 5^4)
= (5^2 - 5^50 - 5^4 + 5^48) / (1 - 5^2)
= (5^2(1 - 5^48) - 5^4(1 - 5^2)) / (1 - 5^2)
= (5^2 - 5^4 - 5^48 + 5^50) / (1 - 5^2)

b) Để tìm số tự nhiên n biết 26A + 1 = 5^n, ta thay A vào biểu thức:

26A + 1 = 26((5^2 - 5^4 - 5^48 + 5^50) / (1 - 5^2)) + 1
= (26(5^2 - 5^4 - 5^48 + 5^50) + (1 - 5^2)) / (1 - 5^2)
= (26(5^2 - 5^4 - 5^48 + 5^50) - 24) / (1 - 5^2)
= (26(5^2 - 5^4 - 5^48 + 5^50) - 24) / 24

Để tìm số tự nhiên n, ta cần tìm số tự nhiên k sao cho (26(5^2 - 5^4 - 5^48 + 5^50) - 24) chia hết cho 24. Ta thấy rằng 26(5^2 - 5^4 - 5^48 + 5^50) chia hết cho 24, nên ta chỉ cần tìm số tự nhiên k sao cho -24 chia hết cho 24. Ta thấy k = 1 là một giá trị thỏa mãn, vì -24 chia hết cho 24. Vậy, n = 24k + 1 = 24(1) + 1 = 25.

c) Để tìm số dư trong phép chia A cho 100, ta tính giá trị của A modulo 100. Ta có:

A = (5^2 - 5^4 - 5^48 + 5^50) / (1 - 5^2)
= (25 - 625 - 5^48 + 5^50) / (1 - 25)
= (25 - 625 - 5^48 + 5^50) / (-24)

Để tính giá trị của A modulo 100, ta tính giá trị của A modulo 24 và giá trị của A modulo 4. Ta có:

A modulo 24 = (25 - 625 - 5^48 + 5^50) modulo 24
= (25 - 625 - 1 + 1) modulo 24
= 0 modulo 24
= 0

A modulo 4 = (25 - 625 - 5^48 + 5^50) modulo 4
= (1 - 1 - 1 + 1) modulo 4
= 0 modulo 4
= 0

Vì A chia hết cho 24 và 4, nên A chia hết cho 24 * 4 = 96. Vậy, số dư trong phép chia A cho 100 là 96.