Chứng minh mn là đường chung bình của tam giác ABC. Chứng minh AB \AC=MB\NC. Chứng minh IB \ IC =MB \ MC

a) Để chứng minh MN là đường chung bình của tam giác ABC, ta cần chứng minh rằng MN cắt AB và AC thành hai đoạn bằng nhau.

Gọi P là giao điểm của MN và AB. Ta có:

AP/AB = AN/AC (theo định lí phân giác)
⇒ AP/AB = AM/AC (vì AN = AM)
⇒ AP/AB = AM/AB (vì AC = AB)
⇒ AP = AM

Tương tự, gọi Q là giao điểm của MN và AC, ta có:

AQ/AC = AN/AB (theo định lí phân giác)
⇒ AQ/AC = AM/AB (vì AN = AM)
⇒ AQ/AC = AM/AC (vì AB = AC)
⇒ AQ = AM

Do đó, ta có AP = AQ, tức là MN cắt AB và AC thành hai đoạn bằng nhau. Vậy MN là đường chung bình của tam giác ABC.

b) Để chứng minh AB/AC = MB/NC, ta sử dụng định lí phân giác:

AB/AC = AB/AN (vì AN = AC)
⇒ AB/AC = MB/MN (vì AB = MB và MN là đường chung bình)
⇒ AB/AC = MB/NC (vì MN = NC)

c) Để chứng minh IB/IC = MB/MC, ta sử dụng định lí phân giác:

IB/IC = IB/IA (vì IA = IC)
⇒ IB/IC = MB/MA (vì IB = MB và MN là đường chung bình)
⇒ IB/IC = MB/MC (vì MA = MC)

d) Để chứng minh IB×NC = IC×MB, ta sử dụng định lí phân giác:

IB/IC = MB/NC (vì MN là đường chung bình)
⇒ IB×NC = IC×MB

e) Để xác định điểm K, ta cần tìm điểm trung điểm của IK. Gọi K là điểm trung điểm của IK, ta có:

NK/NC = IK/IC (theo định lí phân giác)
⇒ NK/NC = 1/2 (vì K là trung điểm của IK)
⇒ NK = NC/2

Do đó, ta có điểm K nằm trên đoạn NC và NK = NC/2.

Vậy ta đã chứng minh tam giác ICK là hình bình hành.