Cho tam giác vuông ABC nhọn, phân giác BD và CE cắt nhau tại I. Gọi K là điểm thuộc cạnh BC sao cho BK = BE

Để chứng minh a, ta sẽ sử dụng tính chất của phân giác. Vì BD là phân giác của góc B nên ta có:
∠IBD = ∠CBD = ∠CBE (1)
Vì CE là phân giác của góc C nên ta có:
∠ICE = ∠CDE = ∠CBE (2)
Từ (1) và (2), ta có ∠IBD = ∠ICE.
Do đó, tam giác IBD và tam giác ICE là hai tam giác cân có cạnh chung IB và IC. Vì vậy, ta có:
IB = ID và IC = IE.
Vì BK = BE, ta có:
IK = IB - BK = ID - BE = IE.
Vậy ta chứng minh được a.

Để chứng minh b, ta sẽ sử dụng định lý phân giác. Vì BD là phân giác của góc B nên ta có:
∠CBD = ∠IBD (3)
Vì CE là phân giác của góc C nên ta có:
∠CDE = ∠ICE (4)
Từ (3) và (4), ta có ∠CBD = ∠CDE.
Do đó, tam giác CBD và tam giác CDE là hai tam giác cân có cạnh chung BC. Vì vậy, ta có:
BC = BD + CD = CE + CD.
Vậy ta chứng minh được b.