Chứng minh tồn tại một bội số của 2023, đồng thời tổng các chữ số của nó bằng 2023

Để chứng minh tồn tại một bội số của 2023 có tổng các chữ số bằng 2023, ta sẽ sử dụng phương pháp giả định.

Giả sử tồn tại một bội số của 2023 có tổng các chữ số bằng 2023. Gọi số đó là n.

Ta biết rằng n là một bội số của 2023, nên n chia hết cho 2023. Tức là tồn tại một số nguyên k sao cho n = 2023k.

Ta cũng biết rằng tổng các chữ số của n bằng 2023. Gọi S(n) là tổng các chữ số của n.

Với n = 2023k, ta có:
S(n) = S(2023k) = S(2 + 0 + 2 + 3k) = 7 + S(k).

Vậy để S(n) = 2023, ta cần S(k) = 2016.

Ta thấy rằng S(k) là tổng các chữ số của k, và S(k) chia hết cho 9. Vì vậy, để S(k) = 2016, ta cần 2016 chia hết cho 9.

2016 chia hết cho 9 vì tổng các chữ số của 2016 cũng chia hết cho 9. Thực tế, 2016 = 2 + 0 + 1 + 6 = 9.

Vậy giả định ban đầu là đúng và tồn tại một bội số của 2023 có tổng các chữ số bằng 2023.