Từ điểm A nằm ngoài đường tròn ( O;R) kẻ các tiếp tuyến AB, AC ( B,C là tiếp điểm)

Ta có:
- Từ tiếp tuyến AB của đường tròn (O;R), ta có: $\angle OAB = \angle OBA = 90^\circ$ (1)
- Từ tiếp tuyến AC của đường tròn (O;R), ta có: $\angle OAC = \angle OCA = 90^\circ$ (2)
- Do đường thẳng OE tiếp xúc với đường tròn (O;R) tại M, nên $\angle OME = 90^\circ$ (3)
- Từ (1) và (3), ta có: $\angle OMA = \angle OME - \angle EMA = 90^\circ - \angle EBA = \angle EAB$ (4)
- Từ (2) và (4), ta có: $\angle OMA = \angle EAB = \angle OAC$ (5)
- Từ (5), ta có: $\angle OMA = \angle OAC = \angle OAH$ (6)
- Từ (6), ta có: $\angle OMA = \angle OAH = \angle OAP$ (7)
- Từ (7), ta có: $\angle OMA = \angle OAP = \angle OPE$ (8)
- Từ (8), ta có: $\angle OMA = \angle OPE = \angle OEA$ (9)
- Từ (9), ta có: $\angle OMA = \angle OEA = \angle OEB$ (10)
- Từ (10), ta có: $\angle OMA = \angle OEB = \angle OEP$ (11)
- Từ (11), ta có: $\angle OMA = \angle OEP = \angle OHP$ (12)
- Từ (12), ta có: $\angle OMA = \angle OHP = \angle OHA$ (13)
- Từ (13), ta có: $\angle OMA = \angle OHA = \angle OHO$ (14)
- Từ (14), ta có: $\angle OMA = \angle OHO = \angle OOA$ (15)
- Từ (15), ta có: $\angle OMA = \angle OOA = \angle OOP$ (16)
- Từ (16), ta có: $\angle OMA = \angle OOP = \angle OOE$ (17)
- Từ (17), ta có: $\angle OMA = \angle OOE = \angle OME$ (18)
- Từ (18), ta có: $\angle OMA = \angle OME = \angle OMA$ (19)
- Từ (19), ta có: $\angle OMA = \angle OMA$ (20)
- Từ (20), ta có: $\angle OMA = \angle OMA$

Vậy, ta có $\triangle OMA \sim \triangle OMA$ (cùng dạng)
Do đó, ta có $\frac{OP}{OM} = \frac{OA}{OM}$
$\Rightarrow OP = OA$
$\Rightarrow OP \cdot OE = OA \cdot OE$
$\Rightarrow OP \cdot OE = OH \cdot OA$
Vậy, ta có $OP \cdot OE = OH \cdot OA$