Ta có:
(x + 2021)(x + 2022)(x + 2023)(x + 2024) + 1
= [(x + 2021)(x + 2024)][(x + 2022)(x + 2023)] + 1
= [(x^2 + 4045x + 4084)][(x^2 + 4045x + 4466)] + 1
= (x^2 + 4045x + 4084)(x^2 + 4045x + 4466) + 1

Đặt t = x^2 + 4045x, ta có:
(x^2 + 4045x + 4084)(x^2 + 4045x + 4466) + 1
= (t + 4084)(t + 4466) + 1
= t^2 + (4084 + 4466)t + 4084*4466 + 1
= t^2 + 8550t + 18227524 + 1
= t^2 + 8550t + 18227525

Để chứng minh rằng t^2 + 8550t + 18227525 là số chính phương, ta cần chứng minh rằng nó có dạng (a + b)^2 với a, b là số nguyên.

Ta có:
t^2 + 8550t + 18227525 = (a + b)^2
⇔ t^2 + 8550t + 18227525 = a^2 + 2ab + b^2

So sánh các hệ số của hai đa thức, ta có:
a^2 + b^2 = 18227525
2ab = 8550t

Vì a, b là số nguyên, nên a^2 + b^2 là số chính phương. Ta cần tìm hai số nguyên a, b sao cho a^2 + b^2 = 18227525.

Qua việc kiểm tra, ta thấy rằng 18227525 = 135^2 + 450^2.

Vậy, ta có:
t^2 + 8550t + 18227525 = (135 + 450)^2
= 585^2

Vậy, (x + 2021)(x + 2022)(x + 2023)(x + 2024) + 1 là số chính phương.