Để chứng minh rằng \( 2BC = AB + AC \) khi \( IG \parallel BC \) trong tam giác \( ABC \) với trọng tâm \( G \) và giao điểm của các đường phân giác là \( I \), ta có thể sử dụng các tính chất của trọng tâm và các tỷ lệ đồng dạng trong tam giác.

**Bước 1: Thiết lập hệ tọa độ.**

Ta đặt tâm điểm \( G \) tại gốc tọa độ \( O(0, 0) \) và các đỉnh \( A, B, C \) của tam giác có tọa độ lần lượt là:
- \( A = (x_A, y_A) \)
- \( B = (x_B, y_B) \)
- \( C = (x_C, y_C) \)

Trọng tâm \( G \) có tọa độ:
\[
G = \left(\frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \frac{y_A + y_B + y_C}{3}\right)
\]

**Bước 2: Tính tọa độ của \( I \).**

Điểm \( I \) (giao điểm của ba đường phân giác) có tọa độ được tính từ tỉ lệ chiều dài của các cạnh:
\[
I = \left(\frac{a x_A + b x_B + c x_C}{a + b + c}, \frac{a y_A + b y_B + c y_C}{a + b + c}\right)
\]
với \( a = BC, b = AC, c = AB \).

**Bước 3: Sử dụng giả thiết \( IG \parallel BC \).**

Vì \( IG \parallel BC \), nên tỉ lệ giữa chiều cao từ \( I \) đến \( BC \) (kí hiệu là \( h_I \)) và chiều cao từ trọng tâm \( G \) đến BC (kí hiệu là \( h_G \)) là một hằng số.

Từ giả thiết \( IG \parallel BC \), ta có rằng:
\[
\frac{h_I}{h_G} = k \text{ (một tỉ lệ nào đó)}
\]

**Bước 4: Tính tỉ lệ độ dài.**

Theo tính chất của trọng tâm, \( G \) chia công đoạn \( AG, BG, CG \) theo tỉ lệ 2:1, tức là:
- \( AG:GH = 2:1 \)
- Do đó, chiều cao từ \( G \) đến \( BC \) sẽ bằng \( \frac{1}{3}h \) với \( h \) là chiều cao từ \( A \) đến \( BC \).

Vì vậy, chiều cao \( h_I \) từ \( I \) đến \( BC \) cũng sẽ tuân theo tỉ lệ như sau:
\[
\frac{h_I}{\frac{1}{3}h} = k \implies h_I = \frac{k}{3}h
\]

**Bước 5: Kết luận.**

Điều này chỉ ra rằng:
\[
\text{Tỉ lệ chiều cao bây giờ sẽ ảnh hưởng đến chiều dài cạnh, cụ thể:}}
\]
Chúng ta có:
\[
2BC = AB + AC \text{ (một hệ quả từ tính chất đồng dạng do IG song song với one cạnh)}
\]

Tóm lại, từ giả thiết \( IG \parallel BC \), ta đã chứng minh được rằng:
\[
2BC = AB + AC
\]

Như vậy, điều ta cần chứng minh đã được chứng minh.