Để giải bài toán này, ta vẽ hình như sau:

[asy]
pair A,B,C,M,N,I,K;
A=(0,0);
B=(4,0);
C=(2,3);
M=(2,0);
N=(2,1.5);
I=(1.5,0);
K=(1.5,1.5);
draw(A--B--C--cycle);
draw(M--N);
draw(A--I);
draw(A--K);
label("$A$",A,SW);
label("$B$",B,SE);
label("$C$",C,N);
label("$M$",M,S);
label("$N$",N,N);
label("$I$",I,S);
label("$K$",K,N);
[/asy]

Theo giả thiết, ta có $M$ là trung điểm của $AB$, nên $AM=MB$. Vì $N$ là trung điểm của $IK$, nên $IN=NK$. Ta cũng biết $MN$ song song với $BC$, nên tam giác $IMN$ và tam giác $ABC$ có các cạnh tương ứng song song và tỉ lệ bằng nhau.

Theo định lý phân giác góc, ta có $AI$ là tia phân giác của góc $\angle BAC$. Vì $MN$ song song với $BC$, nên $\angle MIN = \angle BAC$.

Vậy ta có:
- $IM$ song song với $AB$, nên $\angle AIM = \angle AMB = 180^\circ - \angle BAC$.
- $IN$ song song với $AC$, nên $\angle AIN = \angle ANC = \angle BAC$.

Từ đó, ta có tứ giác $AICK$ là tứ giác cân, vì $\angle AIM = \angle AIN$ và $\angle ICK = \angle ICA = \angle IAC = \angle IAK$.

Vậy tứ giác $AICK$ là tứ giác cân.