Cho tam giác DEF vuông tại D có DE < DF. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh EF và DF. Trên tia đối của tia MN lấy điểm P sao cho M là trung điểm của cạnh NP

a) Ta có MN là đường trung bình của tam giác DEF nên MN song song với DE và EF. Vì vậy, tứ giác FPEN có hai cạnh FP và EN song song và bằng nhau (do M là trung điểm của NP). Do đó, FPEN là hình bình hành.

b) Ta đã chứng minh được FPEN là hình bình hành. Vì đường chéo của hình bình hành chia nó thành hai tam giác đồng dạng và bằng nhau, nên ta có tam giác FPN đồng dạng với tam giác PEN và bằng nhau. Do đó, góc FPN bằng góc PEN và góc NFP bằng góc NEP. Nhưng góc FPN cũng bằng góc FDE (do MN song song với DE), và góc NEP bằng góc DEF (do MN song song với EF). Vậy ta có:

góc FDE = góc FPN = góc PEN = góc DEF

Do tam giác DEF là tam giác vuông tại D, nên góc DEF = 90 độ. Vậy ta có:

góc FDE = góc DEF = 90 độ

Từ đó suy ra tứ giác DEPN là hình chữ nhật.

c) Gọi H là giao điểm của NP và DE. Ta có MH song song với DE (do M là trung điểm của NP), nên góc MHD bằng góc DEF (do MN song song với EF). Nhưng góc MHD cũng bằng góc NHD (do MH song song với ND). Vậy ta có:

góc NHD = góc DEF = 90 độ

Do đó, tứ giác NDHB là hình chữ nhật. Tương tự, ta có tứ giác MHEA là hình chữ nhật.

Vì NP là đường chéo của hình chữ nhật NDHB, nên NP đi qua trung điểm của đường chéo, tức là đi qua trung điểm của HB. Nhưng trung điểm của HB chính là điểm A (do HB là đường chéo của hình chữ nhật MHEA). Vậy ta có điểm A thuộc NP.

Tương tự, ta có điểm B thuộc NP.

Vậy ta có ba điểm A, D, B thẳng hàng.