a) Ta có M là trung điểm của AB nên AM = MB. Giao điểm của AC và BD là G. Ta cần chứng minh rằng AG = GD.

Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác ABC và đường thẳng GD, ta có:
(GA/AC) * (CE/EB) * (BD/DG) = 1

Vì M là trung điểm của AB nên CE/EB = 1. Khi đó, ta có:
(GA/AC) * (BD/DG) = 1

Tương tự, áp dụng định lí Menelaus cho tam giác ABD và đường thẳng GC, ta có:
(GA/AB) * (BC/CD) * (DG/GC) = 1

Vì BC = CD (hình bình hành) nên BC/CD = 1. Khi đó, ta có:
(GA/AB) * (DG/GC) = 1

Từ hai phương trình trên, ta có:
(GA/AC) * (BD/DG) = (GA/AB) * (DG/GC)

Do đó, GA/AC = GA/AB và BD/DG = DG/GC

Từ đó suy ra GA = GD, tức G là trọng tâm của tam giác ABD.

b) Ta đã chứng minh được G là trọng tâm của tam giác ABD. Vì trọng tâm chia đoạn thẳng nối hai đỉnh không nằm trên cạnh đó thành tỉ lệ 2:1, nên ta có GC = 2GA.

c) Kẻ đường thẳng qua C cắt các cạnh AD và BC lần lượt tại I và K. Ta cần chứng minh EI || KF.

Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác ABC và đường thẳng EIK, ta có:
(EI/IB) * (BK/KC) * (CA/AE) = 1

Vì M là trung điểm của AB nên AE/EC = 1. Khi đó, ta có:
(EI/IB) * (BK/KC) = 1

Tương tự, áp dụng định lí Menelaus cho tam giác BCD và đường thẳng EIK, ta có:
(EI/IC) * (CK/KB) * (BD/DE) = 1

Vì BC = CD (hình bình hành) nên CK/KB = 1. Khi đó, ta có:
(EI/IC) * (BD/DE) = 1

Từ hai phương trình trên, ta có:
(EI/IB) * (BK/KC) = (EI/IC) * (CK/KB)

Do đó, EI/IB = EI/IC và BK/KC = CK/KB

Từ đó suy ra EI || KF.

d) Gọi N là trung điểm của AD. Ta cần chứng minh BF - 2EN.

Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác ABD và đường thẳng FEN, ta có:
(FE/EB) * (BN/ND) * (DA/AF) = 1

Vì M là trung điểm của AB nên FE/EB = 1. Khi đó, ta có:
(BN/ND) * (DA/AF) = 1

Vì N là trung điểm của AD nên BN/ND = 1. Khi đó, ta có:
DA/AF = 1

Từ đó suy ra DA = AF.

Vì BF = BD - FD và DA = AF, nên BF = BD - FD = BD - (BD - AD) = AD.

Vì N là trung điểm của AD nên EN = ND.

Do đó, BF - 2EN = AD - 2ND = AD - DN = AN.

Vì AN = AD/2 (vì N là trung điểm của AD), nên BF - 2EN = AD/2.

Vậy BF - 2EN.