Để chứng minh a, ta sử dụng tính chất của tiếp tuyến và góc nội tiếp.

Gọi góc M độ là x. Ta có:
- Góc MAB = góc MCB (do AB và BC là tiếp tuyến chung của đường tròn A và đường tròn B)
- Góc MCB = góc ACB (do AB và AC là tiếp tuyến chung của đường tròn B và đường tròn C)
- Góc ACB = góc NCB (do AB và NC là tiếp tuyến chung của đường tròn C và đường tròn N)
- Góc NCB = góc NAB (do AB và AN là tiếp tuyến chung của đường tròn A và đường tròn N)

Từ đó, ta có:
góc MAB = góc NAB = x

Vậy, góc M độ cũng bằng x.

Để chứng minh b, ta sử dụng định lí Ptolemy.

Áp dụng định lí Ptolemy cho tứ giác OABM, ta có:
OA * BM + OB * AM = AB * OM

Vì AB = R và OM là đường kính của đường tròn A, nên OM = 2R.

Thay vào công thức trên, ta có:
OA * BM + OB * AM = R * 2R
OA * BM + OB * AM = 2R^2

Tương tự, áp dụng định lí Ptolemy cho tứ giác OACN, ta có:
OA * CN + OC * AN = AC * ON

Vì AC = R và ON là đường kính của đường tròn C, nên ON = 2R.

Thay vào công thức trên, ta có:
OA * CN + OC * AN = R * 2R
OA * CN + OC * AN = 2R^2

Vì OC = OB (do O là tâm của đường tròn B), nên ta có:
OA * BM + OB * AM = OA * CN + OB * AN

Do đó, ta có:
OA * BM = OA * CN + OB * AN
OA * BM - OA * CN = OB * AN
OA * (BM - CN) = OB * AN

Vì BM = CN (do đường tròn A và đường tròn C có cùng bán kính), nên ta có:
OA * 0 = OB * AN
0 = OB * AN

Vậy, ta có OA^2 = BM * CN.