Cho đa thức f(x) = x^(3)-ax^(2)+bx-2 và F(x) = f(f(f(x))). Biết rằng 2 đa thức f(x) và F(x) có nghiệm chung. Tìm tất cả nghiệm chung của 2 đa thức đó, biết rằng a^(2)+b^(2) đạt gtnn

Để tìm nghiệm chung của hai đa thức f(x) và F(x), ta giải hệ phương trình f(x) = F(x).

Đầu tiên, ta tính F(x):
F(x) = f(f(f(x)))

Đặt y = f(x), ta có:
F(x) = f(f(y))

Tiếp theo, ta tính f(y):
f(y) = y^(3) - ay^(2) + by - 2

Thay f(y) vào F(x), ta có:
F(x) = f(f(y)) = f(y)^(3) - af(y)^(2) + bf(y) - 2

Thay y = f(x) vào F(x), ta có:
F(x) = f(f(x))^(3) - af(f(x))^(2) + bf(f(x)) - 2

Thay f(x) = x^(3) - ax^(2) + bx - 2 vào F(x), ta có:
F(x) = (x^(3) - ax^(2) + bx - 2)^(3) - a(x^(3) - ax^(2) + bx - 2)^(2) + b(x^(3) - ax^(2) + bx - 2) - 2

Giải phương trình f(x) = F(x):
x^(3) - ax^(2) + bx - 2 = (x^(3) - ax^(2) + bx - 2)^(3) - a(x^(3) - ax^(2) + bx - 2)^(2) + b(x^(3) - ax^(2) + bx - 2) - 2

Để giải phương trình này, ta có thể sử dụng các phương pháp giải đa thức như phương pháp Viète, phương pháp Horner, hoặc sử dụng máy tính để tìm nghiệm chính xác.

Sau khi tìm được các nghiệm x1, x2, x3 của phương trình f(x) = F(x), ta kiểm tra điều kiện a^(2) + b^(2) = gtnn. Nếu điều kiện này không thỏa mãn, ta tiếp tục tìm các giá trị khác cho a và b để thỏa mãn điều kiện này.

Vậy, để tìm tất cả nghiệm chung của hai đa thức f(x) và F(x), ta giải phương trình f(x) = F(x) và kiểm tra điều kiện a^(2) + b^(2) = gtnn.