Cho ΔABC đều nội tiếp (0), M là một điểm trên cung nhỏ AC

1) Ta có AABC là tam giác đều nên các cạnh AB, BC, AC bằng nhau. Khi đó, ta có:
MB = AB - AM
MC = BC - CM
Vì AB = BC, nên ta có:
MB = BC - AM
MC = BC - CM
Tổng hai vế của phương trình trên ta được:
MB + MC = 2BC - (AM + CM)
Vì AABC là tam giác đều nên BC = AC. Thay vào phương trình trên ta có:
MB + MC = 2AC - (AM + CM)
Vì AABC nội tiếp (0) nên AM + MC = AC. Thay vào phương trình trên ta có:
MB + MC = 2AC - AC = AC
Vậy ta có MB = MA + MC.

2) Để MA + MC có giá trị lớn nhất, ta cần chọn M sao cho AM và MC càng gần nhau càng tốt. Khi đó, ta chọn M là trung điểm của AC. Khi đó, ta có:
MA = MC = 1/2 AC
Vậy MA + MC có giá trị lớn nhất khi M là trung điểm của AC.

3) Gọi E là giao điểm của BM và AC. Ta có:
1/ME = 1/MA + 1/MC
Đặt x = MA/AC và y = MC/AC. Khi đó, ta có:
ME = AC - AE = AC - (AM + MC) = AC - (xAC + yAC) = AC(1 - x - y)
Thay vào phương trình trên ta có:
1/(AC(1 - x - y)) = 1/x + 1/y
Đặt t = 1 - x - y. Khi đó, phương trình trên trở thành:
1/(ACt) = 1/(1 - t) + 1/y
Nhân cả hai vế của phương trình trên với ACt(1 - t) ta có:
(1 - t) = ACt + AC(1 - t)
Simplifying the equation, we get:
1 - t = t + 1 - t
1 = 2t
t = 1/2
Thay t = 1/2 vào phương trình trên ta có:
1/(AC(1/2)) = 1/(1/2) + 1/y
2/AC = 2 + 1/y
1/AC = 1/y
Vậy ta có 1/ME = 1/MA + 1/MC.