Cho tam giác BEK cân tại B Gọi O là trung điểm của EK

a) Ta có tam giác BEK cân tại B, do đó EB = EK.
Gọi I là giao điểm của phân giác của góc EBK và đường thẳng EK.
Ta cần chứng minh rằng I nằm trên đường thẳng EO.
Vì O là trung điểm của EK, nên EO là đường trung bình của tam giác EIK.
Do đó, ta có EI = EK/2 = EB/2.
Vì EB = EK, nên EI = EB/2.
Vì I là giao điểm của phân giác của góc EBK và đường thẳng EK, nên I cũng là trung điểm của cạnh BK.
Do đó, ta có BI = IK.
Vậy, tam giác BEI là tam giác cân tại B, nên phân giác EB cắt đường thẳng EK tại điểm I.
Vậy, phân giác EB chính là phân giác EBK.

b) Gọi đường thẳng qua O và vuông góc với BE là đường thẳng d.
Gọi điểm H là giao điểm của d và tia đối của tia OA.
Ta cần chứng minh rằng AE // HK.
Vì O là trung điểm của EK, nên EO là đường trung bình của tam giác EIK.
Do đó, ta có EI = EK/2 = EB/2.
Vì EB = EK, nên EI = EB/2.
Vì O là trung điểm của EK, nên OH là đường trung bình của tam giác EIK.
Do đó, ta có OI = EK/2 = EB/2.
Vậy, ta có OI = EI.
Vì OI = EI và d vuông góc với BE, nên OI // BE.
Vậy, ta có AE // HK.

c) Gọi HC cắt EK tại C và BK tại M.
Ta cần chứng minh rằng AE = MK và AM // EK.
Vì tam giác BEK cân tại B, nên EB = EK.
Vì O là trung điểm của EK, nên EO là đường trung bình của tam giác EIK.
Do đó, ta có EI = EK/2 = EB/2.
Vì EB = EK, nên EI = EB/2.
Vì O là trung điểm của EK, nên OH là đường trung bình của tam giác EIK.
Do đó, ta có OI = EK/2 = EB/2.
Vậy, ta có OI = EI.
Vì OI = EI và HC vuông góc với EK, nên OI // HC.
Vậy, ta có OI // HC.
Vì OI // HC và d vuông góc với BE, nên d cũng vuông góc với HC.
Vậy, ta có d vuông góc với HC.
Vậy, ta có AE = MK và AM // EK.