Để tìm số nguyên n thỏa mãn điều kiện đã cho, ta sẽ sử dụng phương pháp chia dư.

Theo đề bài, ta có: (n^2 - 3n + 3) chia hết cho (n + 2).

Áp dụng phép chia dư, ta có:

n^2 - 3n + 3 = k(n + 2) + r

Trong đó, k là số nguyên thương, r là số nguyên dư và 0 ≤ r < n + 2.

Để (n^2 - 3n + 3) chia hết cho (n + 2), ta có r = 0.

Vậy, ta có:

n^2 - 3n + 3 = k(n + 2)

n^2 - 3n + 3 = kn + 2k

n^2 - (3 + k)n + (3 - 2k) = 0

Để phương trình trên có nghiệm nguyên n, ta cần điều kiện delta (bình phương của hệ số n) là một số chính phương.

Theo công thức delta, ta có:

delta = (3 + k)^2 - 4(3 - 2k)

delta = 9 + 6k + k^2 - 12 + 8k

delta = k^2 + 14k - 3

Để delta là một số chính phương, ta cần tìm các giá trị của k sao cho k^2 + 14k - 3 là một số chính phương.

Để giải phương trình trên, ta có thể sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc 2:

k = (-14 ± √(14^2 - 4(-3))) / 2

k = (-14 ± √(196 + 12)) / 2

k = (-14 ± √208) / 2

k = (-14 ± 4√13) / 2

k = -7 ± 2√13

Vậy, ta có hai giá trị của k là -7 + 2√13 và -7 - 2√13.

Để tìm các giá trị của n, ta thay giá trị của k vào phương trình n^2 - (3 + k)n + (3 - 2k) = 0.

Khi k = -7 + 2√13:

n^2 - (3 - 7 + 2√13)n + (3 + 14 - 6√13) = 0

n^2 - (10 + 2√13)n + (17 - 6√13) = 0

Khi k = -7 - 2√13:

n^2 - (3 - 7 - 2√13)n + (3 + 14 + 6√13) = 0

n^2 - (-4 - 2√13)n + (17 + 6√13) = 0

Từ hai phương trình trên, ta có thể tìm các giá trị của n bằng cách giải phương trình bậc 2.

Tuy nhiên, để tìm các giá trị cụ thể của n, ta cần tính toán giá trị của √13, nhưng √13 là một số vô tỉ.

Vì vậy, không có số nguyên n thỏa mãn điều kiện đã cho.