Giả sử ta có 3 số nguyên tố lớn hơn 3 là p, q, r. Ta cần chứng minh rằng luôn tìm được 2 số có tổng hoặc hiệu chia hết cho 12.

Ta có 2 trường hợp cần xét:

Trường hợp 1: Tồn tại ít nhất 2 số trong 3 số p, q, r có cùng dư 0 khi chia cho 12.
- Nếu 2 số đó là p và q, ta có p ≡ 0 (mod 12) và q ≡ 0 (mod 12), do đó p + q ≡ 0 + 0 ≡ 0 (mod 12), tức là p + q chia hết cho 12.
- Nếu 2 số đó là p và r, ta có p ≡ 0 (mod 12) và r ≡ 0 (mod 12), do đó p + r ≡ 0 + 0 ≡ 0 (mod 12), tức là p + r chia hết cho 12.
- Nếu 2 số đó là q và r, ta có q ≡ 0 (mod 12) và r ≡ 0 (mod 12), do đó q + r ≡ 0 + 0 ≡ 0 (mod 12), tức là q + r chia hết cho 12.

Trường hợp 2: Không tồn tại 2 số trong 3 số p, q, r có cùng dư 0 khi chia cho 12.
- Ta xét tất cả các trường hợp có thể xảy ra với 3 số nguyên tố lớn hơn 3. Có tất cả 9 trường hợp:
+ p ≡ 1 (mod 12), q ≡ 5 (mod 12), r ≡ 7 (mod 12)
+ p ≡ 1 (mod 12), q ≡ 7 (mod 12), r ≡ 5 (mod 12)
+ p ≡ 5 (mod 12), q ≡ 1 (mod 12), r ≡ 7 (mod 12)
+ p ≡ 5 (mod 12), q ≡ 7 (mod 12), r ≡ 1 (mod 12)
+ p ≡ 7 (mod 12), q ≡ 1 (mod 12), r ≡ 5 (mod 12)
+ p ≡ 7 (mod 12), q ≡ 5 (mod 12), r ≡ 1 (mod 12)
+ p ≡ 1 (mod 12), q ≡ 11 (mod 12), r ≡ 5 (mod 12)
+ p ≡ 1 (mod 12), q ≡ 5 (mod 12), r ≡ 11 (mod 12)
+ p ≡ 5 (mod 12), q ≡ 1 (mod 12), r ≡ 11 (mod 12)
- Ta thấy trong tất cả các trường hợp trên, luôn tồn tại ít nhất 2 số có tổng hoặc hiệu chia hết cho 12. Ví dụ: p + q ≡ 1 + 5 ≡ 6 ≡ 0 (mod 12), p - q ≡ 1 - 5 ≡ -4 ≡ 8 ≡ 0 (mod 12).

Vậy, ta đã chứng minh rằng với 3 số nguyên tố lớn hơn 3 bất kì luôn tìm được 2 số có tổng hoặc hiệu chia hết cho 12.