Để tính diện tích hình tứ giác AKMN, ta sẽ tính diện tích của hai tam giác ABK và CND, sau đó lấy tổng của chúng.

Diện tích tam giác ABK là 5 cm².
Diện tích tam giác CND là 3 cm².

Ta có công thức tính diện tích tam giác:
Diện tích tam giác ABC = 1/2 * cạnh AB * cạnh AC * sin(ABC)

Áp dụng công thức này vào tam giác ABK, ta có:
5 = 1/2 * AB * AK * sin(BAK)
=> AB * AK * sin(BAK) = 10

Tương tự, áp dụng công thức này vào tam giác CND, ta có:
3 = 1/2 * CD * CN * sin(CDN)
=> CD * CN * sin(CDN) = 6

Vì M là trung điểm BC, nên BM = MC. Tương tự, E là trung điểm AD, nên AE = ED. Do đó, ta có:
AB = 2BM và CD = 2AE.

Thay các giá trị vào các công thức trên, ta có:
2BM * AK * sin(BAK) = 10
2AE * CN * sin(CDN) = 6

Vì BM = MC và AE = ED, ta có:
2BM = BC và 2AE = AD.

Thay các giá trị vào các công thức trên, ta có:
BC * AK * sin(BAK) = 10
AD * CN * sin(CDN) = 6

Ta có thể viết lại các công thức trên thành:
BC * AK * sin(BAK) = 10
AD * CN * sin(CDN) = 6

Vì AK và CN là đường cao của tam giác ABC và tam giác CDA, nên ta có:
AK = 2 * diện tích tam giác ABK / BC
CN = 2 * diện tích tam giác CND / AD

Thay các giá trị vào các công thức trên, ta có:
BC * (2 * diện tích tam giác ABK / BC) * sin(BAK) = 10
AD * (2 * diện tích tam giác CND / AD) * sin(CDN) = 6

Simplifying, ta có:
2 * diện tích tam giác ABK * sin(BAK) = 10
2 * diện tích tam giác CND * sin(CDN) = 6

Vì diện tích tam giác ABK = 5 cm² và diện tích tam giác CND = 3 cm², ta có:
2 * 5 * sin(BAK) = 10
2 * 3 * sin(CDN) = 6

Simplifying, ta có:
sin(BAK) = 1
sin(CDN) = 1

Vì sin(BAK) = 1 và sin(CDN) = 1, ta có:
BAK = 90°
CDN = 90°

Vậy, tam giác ABK và tam giác CND là hai tam giác vuông.

Do đó, diện tích hình tứ giác AKMN là tổng diện tích của hai tam giác ABK và CND:
Diện tích hình tứ giác AKMN = diện tích tam giác ABK + diện tích tam giác CND
= 5 + 3
= 8 cm²

Vậy, diện tích hình tứ giác AKMN là 8 cm².