Câu 1: Ta có KH = KA và KH vuông góc với BC, từ đó suy ra tam giác KAH cân tại K.
Vì tam giác ABC vuông tại A, nên ta có góc BAC = 90 độ.
Do đó, góc BAH = góc BAC - góc KAC = 90 độ - góc KAC = góc BKC.
Vậy ta có góc BAH = góc BKC, từ đó suy ra BK vuông góc với AH.

Câu 2: Ta có tam giác ABC cân tại A, nên góc BAC = góc BCA.
Vì M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC, nên ta có góc MON = góc BAC = góc BCA.
Do đó, ta có góc MON = góc BCA = góc BAC.
Vậy ta có góc MON = góc BAC, từ đó suy ra O là trung điểm của MN.
Vì đường thẳng vuông góc với một đoạn thẳng tại điểm trung điểm của đoạn thẳng đó là đường thẳng đi qua đoạn thẳng đó và vuông góc với đoạn thẳng đó, nên ta có AO vuông góc với MN.
Vì AO vuông góc với MN và MN là đường thẳng đi qua trung điểm của AB và AC, nên ta có AO là đường cao của tam giác ABC.
Do đó, ta có AH vuông góc với BC.
Vì tam giác ABC cân tại A, nên ta có AB = AC.
Vậy ta có HB = HC.

Câu 3:
a) Ta có góc BAI = góc IAC (vì AI là tia phân giác của góc A), và góc BHI = góc IHA (vì BH vuông góc với AH).
Vì góc BAI = góc IAC và góc BHI = góc IHA, nên ta có tam giác BAI và tam giác IAC đồng dạng, và tam giác BHI và tam giác IHA đồng dạng.
Do đó, ta có AH/AI = HI/BI và AH/AI = HI/CI.
Từ đó suy ra HI/BI = HI/CI, hay BI = CI.
Vậy ta có BH = CH.
b) Ta có góc BAI = góc IAC (vì AI là tia phân giác của góc A), và góc BHI = góc IHA (vì BH vuông góc với AH).
Vì góc BAI = góc IAC và góc BHI = góc IHA, nên ta có tam giác BAI và tam giác IAC đồng dạng, và tam giác BHI và tam giác IHA đồng dạng.
Do đó, ta có AH/AI = HI/BI và AH/AI = HI/CI.
Từ đó suy ra HI/BI = HI/CI, hay BI = CI.
Vậy ta có BH = CH.
c) Ta có góc BAI = góc IAC (vì AI là tia phân giác của góc A), và góc BHI = góc IHA (vì BH vuông góc với AH).
Vì góc BAI = góc IAC và góc BHI = góc IHA, nên ta có tam giác BAI và tam giác IAC đồng dạng, và tam giác BHI và tam giác IHA đồng dạng.
Do đó, ta có AH/AI = HI/BI và AH/AI = HI/CI.
Từ đó suy ra HI/BI = HI/CI, hay BI = CI.
Vì AB < AC, nên ta có AK = AC + AB/2 và CK = AC - AB/2.