Ta có tam giác ABC cân tại A, nên AH là đường cao của tam giác và cũng là đường trung tuyến. Vì vậy, ta có AH = BH.

Vì BH vuông góc với AC, nên tam giác ABH vuông tại B. Do đó, ta có:

DE = AB - AE (1)
DF = AC - AF (2)

Vì tam giác ABC cân tại A, nên AB = AC. Kết hợp với (1) và (2), ta có:

DE + DF = (AB - AE) + (AC - AF) = AB + AC - AE - AF

Vì AH là đường cao của tam giác ABC, nên AE + AF = AH. Kết hợp với AB = AC, ta có:

DE + DF = AB + AC - AE - AF = AB + AC - AH

Vì AH = BH, nên ta có:

DE + DF = AB + AC - AH = AB + AC - BH = BH

Vậy, ta đã chứng minh được DE + DF = BH.