Cho tam giác ABC vuông đỉnh B. Trên cạnh AC lấy điểm I sao cho AI=AB. Từ I kẻ đường thẳng IK vuông góc với AC (K thuộc BC). BI cắt AK tại Q

a) Ta có AI = AB và IB = IB (cạnh chung), nên tam giác ABI và tam giác AIB là hai tam giác cân. Do đó, ta có góc ABI = góc BAI và góc AIB = góc IAB.

Vì tam giác ABC là tam giác vuông tại B, nên góc BAI = 90° - góc ABC.

Từ đó, ta có góc ABI = 90° - góc ABC và góc AIB = góc IAB.

Vì góc ABI = góc AIB, nên tam giác ABI và tam giác AIB là hai tam giác đồng dạng.

Do đó, tam giác ABK và tam giác AIK cũng là hai tam giác đồng dạng.

Vậy, ta có tam giác ABK = tam giác AIK.

b) Ta có AI = AB và IB = IB (cạnh chung), nên tam giác ABI và tam giác AIB là hai tam giác cân.

Do đó, góc BAI = góc ABI và góc AIB = góc IAB.

Vì tam giác ABI và tam giác AIB là hai tam giác cân, nên góc ABI = góc BAI và góc AIB = góc IAB.

Từ đó, ta có góc ABI = góc BAI = góc IAB.

Vậy, AK là phân giác của góc BAC.

c) Ta có tam giác ABI và tam giác AIB là hai tam giác cân.

Vì tam giác ABI và tam giác AIB là hai tam giác cân, nên đường trung bình BI của tam giác ABI chia đôi đoạn AK.

Từ đó, ta có Q là trung điểm của BI.

d) Ta có tam giác ABI và tam giác AIB là hai tam giác cân.

Vì tam giác ABI và tam giác AIB là hai tam giác cân, nên đường trung bình BI của tam giác ABI là đường cao của tam giác AIB.

Vậy, AK vuông góc với BI tại Q.