Để A = 12n + 1/3n + 1 là một số nguyên, ta cần 12n + 1/3n là một số nguyên.

Để 12n + 1/3n là một số nguyên, ta cần 3 chia hết cho n hoặc n chia hết cho 3.

Nếu n chia hết cho 3, ta có n = 3k với k là một số nguyên.

Thay n = 3k vào 12n + 1/3n, ta có:
12n + 1/3n = 12(3k) + 1/3(3k) = 36k + k = 37k.

Vì k là một số nguyên, nên 37k là một số nguyên.

Vậy, nếu n chia hết cho 3, thì A = 12n + 1/3n + 1 là một số nguyên.

Nếu 3 chia hết cho n, ta có n = 1 hoặc n = 3.

Thay n = 1 vào 12n + 1/3n + 1, ta có:
12n + 1/3n + 1 = 12(1) + 1/3(1) + 1 = 12 + 1/3 + 1 = 13 + 1/3.

Vì 13 + 1/3 không là một số nguyên, nên n = 1 không thỏa mãn.

Thay n = 3 vào 12n + 1/3n + 1, ta có:
12n + 1/3n + 1 = 12(3) + 1/3(3) + 1 = 36 + 1 + 1 = 38.

Vì 38 là một số nguyên, nên n = 3 thỏa mãn.

Vậy, có duy nhất một giá trị nguyên của n để A = 12n + 1/3n + 1 là một số nguyên.