Cho ΔABC, đường trung tuyến AD. Qua D kẻ đường thẳng song song với AB, qua B kẻ đường thẳng song song với AD, hai đường thẳng này cắt nhau tại E

a) Ta có AB // DE và AD // BE (do AB và DE là đường thẳng song song, AD và BE là đường thẳng song song).
Do đó, theo góc đồng quy, ta có ∠ABD = ∠EDB.
Và ta cũng có BD = BD (cạnh chung).
Vậy theo trường hợp SSS (cạnh - cạnh - cạnh), ta có ΔABD = ΔEDB.

b) Ta có AB // DE và AD // BE (do AB và DE là đường thẳng song song, AD và BE là đường thẳng song song).
Do đó, theo góc đồng quy, ta có ∠ABD = ∠EDB.
Và ta cũng có ∠AEB = ∠BDA (do AB // DE).
Vậy theo trường hợp SAS (cạnh - góc - cạnh), ta có ΔAEB = ΔBDA.
Do đó, ta có IA = IE (cạnh chung) và IB = ID (cạnh chung).

c) Gọi K là trung điểm của CE.
Ta có AK // BD (do AK là đường trung tuyến của ΔABC, BD là đường thẳng song song với AK).
Và ta cũng có DK // AB (do DK là đường thẳng song song với AB, BD là đường thẳng song song với AK).
Do đó, theo góc đồng quy, ta có ∠AKD = ∠ADB.
Và ta cũng có ∠AKD = ∠ABD (do AK // BD).
Vậy theo trường hợp AAS (góc - cạnh - góc), ta có ΔAKD = ΔABD.
Do đó, ta có AK = AB (cạnh chung) và DK = BD (cạnh chung).
Và vì K là trung điểm của CE, nên ta cũng có CK = KE (định nghĩa trung điểm).
Vậy ta có AK = AB, DK = BD và CK = KE.
Do đó, ta có IA = IE (chứng minh ở bước b) và CK = KE.
Vậy theo trường hợp SSS (cạnh - cạnh - cạnh), ta có ΔIAK = ΔIEK.
Do đó, ta có IA = IE và AK = EK.
Và vì K là trung điểm của CE, nên ta cũng có CK = KE.
Vậy ta có IA = IE, IB = ID và CK = KE.
Vậy A, D, K thẳng hàng.