Cho tam giác ABC vuông góc tại A, một điểm D trên cạnh huyền BC, đường thẳng vuông góc BC tại D cắt AB tại E cắt AC tại F..

a. Ta có:
$\angle DBE = \angle ABC$ (cùng nằm ở cùng một cạnh)
$\angle BDE = \angle BAC$ (cùng nằm ở cùng một cạnh)
Vậy tam giác DBE đồng dạng với tam giác ABC.

b. Tương tự, ta có:
$\angle DFC = \angle ACB$ (cùng nằm ở cùng một cạnh)
$\angle CDF = \angle CAB$ (cùng nằm ở cùng một cạnh)
Vậy tam giác DFC đồng dạng với tam giác ABC.

c. Ta có:
$\frac{DB}{DE} = \frac{AB}{AE}$ (do tam giác DBE đồng dạng với tam giác ABC)
$\frac{DC}{DF} = \frac{AC}{AF}$ (do tam giác DFC đồng dạng với tam giác ABC)
Nhân hai phương trình vừa rồi ta được:
$\frac{DB}{DE} \cdot \frac{DC}{DF} = \frac{AB}{AE} \cdot \frac{AC}{AF}$
$\Rightarrow \frac{DB \cdot DC}{DE \cdot DF} = \frac{AB \cdot AC}{AE \cdot AF}$
$\Rightarrow DB \cdot DC = DE \cdot DF$

d. Ta có:
$\angle AEF = \angle ABC$ (cùng nằm ở cùng một cạnh)
$\angle AFE = \angle ACB$ (cùng nằm ở cùng một cạnh)
Vậy tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC.

e. Gọi M là trung điểm của BC và N là trung điểm của EF.
Ta có:
$\frac{AM}{AN} = \frac{AB}{AE}$ (do tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC)
$\Rightarrow \frac{AM}{AN} = \frac{AB}{AE} = \frac{AC}{AF}$ (do tam giác ABC đồng dạng với tam giác AEF)
$\Rightarrow \frac{AM}{AN} = \frac{AC}{AF}$
Vậy tam giác BAM đồng dạng với tam giác FAN và AM đồng dạng với AN.