Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A, BC là tiếp tuyến chung ngoài. B ∈ (O), C ∈ (O’). Tiếp tuyến chung trong tại A cắt BC ở điểm M. Gọi E là giao điểm của OM và AB, F là giao điểm của O’M và AC. Chứng minh rằng:

Để chứng minh rằng EA = EF, ta sẽ sử dụng định lí Pappus.

Theo định lí Pappus, ta có:

- Đường thẳng AB cắt đường thẳng O'M tại F.
- Đường thẳng AC cắt đường thẳng OM tại E.
- Đường thẳng BC cắt đường thẳng O'M tại F và đường thẳng OM tại E.

Vậy theo định lí Pappus, ta có: EF // BC.

Mà BC là tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn (O) và (O'), nên EF cũng là tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn này.

Vậy EF cũng tiếp tuyến với đường tròn (O') tại điểm F.

Do đó, ta có: ∠O'FA = ∠O'EF = ∠O'EA.

Mà ∠O'FA = ∠O'EA = 90° (do tiếp tuyến chung ngoài tiếp xúc với đường tròn tại điểm tiếp xúc là tiếp tuyến chung trong).

Vậy ta có: ∠O'FA = ∠O'EA = 90°.

Từ đó suy ra: ∠O'EF = ∠O'EA = 90°.

Vậy EF cũng tiếp tuyến với đường tròn (O) tại điểm F.

Vậy ta có: EF là tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn (O) và (O').

Mà EF // BC, nên ta có: EFBC là hình bình hành.

Vậy ta có: EF = BC.

Do đó, ta có: EA = EF = BC.

Vậy ta đã chứng minh được rằng EA = BC.