a) Để giải bất phương trình x^2 - 1 > 0, ta cần tìm các giá trị của x sao cho x^2 - 1 > 0.
Đầu tiên, ta giải phương trình x^2 - 1 = 0:
x^2 - 1 = 0
(x - 1)(x + 1) = 0
x = 1 hoặc x = -1

Tiếp theo, ta xét các khoảng giá trị x để x^2 - 1 > 0:
Khi x < -1, ta có x^2 - 1 < 0.
Khi -1 < x < 1, ta có x^2 - 1 < 0.
Khi x > 1, ta có x^2 - 1 > 0.

Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là x < -1 hoặc x > 1.

b) Để giải bất phương trình x^2 - 2x - 1 < 0, ta cần tìm các giá trị của x sao cho x^2 - 2x - 1 < 0.
Đầu tiên, ta giải phương trình x^2 - 2x - 1 = 0:
x = (-(-2) ± √((-2)^2 - 4(1)(-1))) / (2(1))
x = (2 ± √(4 + 4)) / 2
x = (2 ± √8) / 2
x = 1 ± √2

Tiếp theo, ta xét các khoảng giá trị x để x^2 - 2x - 1 < 0:
Khi x < 1 - √2 hoặc x > 1 + √2, ta có x^2 - 2x - 1 < 0.
Khi 1 - √2 < x < 1 + √2, ta có x^2 - 2x - 1 > 0.

Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là x < 1 - √2 hoặc x > 1 + √2.

c) Để giải bất phương trình -3x^2 + 12x + 1 < 0, ta cần tìm các giá trị của x sao cho -3x^2 + 12x + 1 < 0.
Đầu tiên, ta giải phương trình -3x^2 + 12x + 1 = 0:
x = (-12 ± √(12^2 - 4(-3)(1))) / (2(-3))
x = (-12 ± √(144 + 12)) / (-6)
x = (-12 ± √156) / (-6)
x = 2 ± √(39)

Tiếp theo, ta xét các khoảng giá trị x để -3x^2 + 12x + 1 < 0:
Khi x < 2 - √(39) hoặc x > 2 + √(39), ta có -3x^2 + 12x + 1 < 0.
Khi 2 - √(39) < x < 2 + √(39), ta có -3x^2 + 12x + 1 > 0.

Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là x < 2 - √(39) hoặc x > 2 + √(39).

d) Để giải bất phương trình 5x^2 + x + 1 > 0, ta cần tìm các giá trị của x sao cho 5x^2 + x + 1 > 0.
Đầu tiên, ta giải phương trình 5x^2 + x + 1 = 0:
x = (-1 ± √(1^2 - 4(5)(1))) / (2(5))
x = (-1 ± √(1 - 20)) / 10
x = (-1 ± √(-19)) / 10

Vì √(-19) không tồn tại trong tập số thực, nên phương trình không có nghiệm.

Vậy, bất phương trình 5x^2 + x + 1 > 0 không có tập nghiệm.