a. Chứng minh tam giác BDE = tam giác ADK và AK // BC:
Ta có:
- Vì D là trung điểm của AB nên AD = DB.
- Vì E là trung điểm của BC nên BE = EC.
- Vì DK = DE (theo đề bài).
- Vì AD // BC (do D là trung điểm của AB) nên góc ADB = góc B.
- Vì AK // BC (do E là trung điểm của BC) nên góc AKB = góc B.
- Vì góc ADB = góc AKB (cùng là góc B) nên tam giác ADB = tam giác AKB (theo góc - cạnh - góc).
- Vì AD = DB và AK = KB (do D và E là trung điểm) nên tam giác ADB = tam giác AKB (theo cạnh - cạnh - cạnh).
- Vì tam giác ADB = tam giác AKB nên tam giác BDE = tam giác ADK (theo góc - cạnh - góc).
- Vì AK // BC nên tam giác AKD = tam giác BCD (theo góc - cạnh - góc).
- Vì tam giác BCD = tam giác ADB (do AD // BC) nên tam giác AKD = tam giác ADB.
- Vì tam giác AKD = tam giác ADB nên tam giác ADK = tam giác BDE (theo góc - cạnh - góc).
- Vì tam giác BDE = tam giác ADK và AK // BC nên ta có điều phải chứng minh.

b. Chứng minh tam giác AKE = tam giác ECA:
Ta có:
- Vì E là trung điểm của BC nên BE = EC.
- Vì AK // BC (do E là trung điểm của BC) nên góc AKE = góc ECA (cùng là góc B).
- Vì AE = EC (do E là trung điểm của BC) nên tam giác AKE = tam giác ECA (theo cạnh - góc - cạnh).
- Vì tam giác AKE = tam giác ECA nên ta có điều phải chứng minh.

c. Tính số đo các góc của tam giác BDE:
Gọi x là số đo góc BDE.
- Vì tam giác BDE = tam giác ADK (theo câu a) nên góc BDE = góc ADK = x.
- Vì tam giác ADB = tam giác AKB (theo câu a) nên góc ADB = góc AKB = 180 - 2x (vì tổng các góc trong tam giác là 180 độ).
- Vì tam giác ADB = tam giác BCD (do AD // BC) nên góc BCD = góc ADB = 180 - 2x.
- Vì tam giác BCD = tam giác AKD (theo câu a) nên góc AKD = góc BCD = 180 - 2x.
- Vì tam giác AKD = tam giác ADB (theo câu a) nên góc ADB = góc AKD = 180 - 2x.
- Vì góc ADB = góc A + góc B + góc D = 65 + 180 - 2x + 55 + x = 300 - x.
- Vì góc ADB = góc AKD = 180 - 2x nên 300 - x = 180 - 2x.
- Giải phương trình ta có: x = 60.
Vậy số đo các góc của tam giác BDE là: góc BDE = góc ADK = 60 độ, góc BED = góc AKD = 120 độ, góc B = góc ADB = 180 - 2x = 60 độ.

d. Chứng minh I là trung điểm của CK:
Ta có:
- Vì E là trung điểm của BC nên BE = EC.
- Vì I là trung điểm của AE nên AI = IE.
- Vì DK = DE (theo đề bài) nên góc KDI = góc IDE (cùng là góc E).
- Vì AI = IE và góc KDI = góc IDE nên tam giác AKI = tam giác EID (theo cạnh - góc - cạnh).
- Vì tam giác AKI = tam giác EID nên tam giác AKE = tam giác ECA (theo góc - cạnh - góc).
- Vì tam giác AKE = tam giác ECA nên ta có điều phải chứng minh.