Để chứng minh phân số 2n + 7/3n + 10 là phân số tối giản, ta cần tìm ước chung lớn nhất (ƯCLN) của tử số và mẫu số và chứng minh rằng ước chung lớn nhất này là 1.

Ta có phân số 2n + 7/3n + 10. Để tìm ƯCLN của tử số và mẫu số, ta sẽ tìm ƯCLN của 2n + 7 và 3n + 10.

Áp dụng thuật toán Euclid để tìm ƯCLN:
- Ta có: (3n + 10) = (2n + 7) * 1 + (n + 3)
- Tiếp tục: (2n + 7) = (n + 3) * 1 + (n + 4)
- Tiếp tục: (n + 3) = (n + 4) * 0 + (n + 3)

Vậy, ƯCLN của 2n + 7 và 3n + 10 là n + 3.

Để chứng minh rằng ƯCLN này là 1, ta cần chứng minh rằng n + 3 không chia hết cho bất kỳ số nguyên dương nào khác 1.

Giả sử n + 3 chia hết cho một số nguyên dương k (k khác 1), tức là n + 3 = k * m (với m là một số nguyên dương).

Khi đó, ta có: n = k * m - 3.

Thay n vào phương trình (n + 3) = (n + 4) * 0 + (n + 3), ta được:

k * m - 3 + 3 = (k * m - 3) + 3 = k * m.

Vậy, ta có k * m = k * m, điều này chứng tỏ n + 3 chia hết cho k.

Tuy nhiên, vì k khác 1, nên n + 3 không chia hết cho k.

Vậy, ƯCLN của 2n + 7 và 3n + 10 là 1.

Do đó, phân số 2n + 7/3n + 10 là phân số tối giản.