Để chứng minh rằng \(12n + 1\) và \(30n + 21\) là hai số nguyên tố cùng nhau, ta có thể sử dụng Định lý Euclid:

Định lý Euclid: Nếu \(a\) và \(b\) là hai số nguyên tố cùng nhau và \(c\) là một số tự nhiên bất kỳ, thì \(a + bc\) và \(b\) cũng là hai số nguyên tố cùng nhau.

Ta có:
\(12n + 1 = 3(4n) + 1\)
\(30n + 21 = 3(10n + 7)\)

Với \(a = 3\), \(b = 4n\) và \(c = 1\), ta thấy rằng \(3\) và \(4n\) không có ước số chung nào ngoài \(1\), nên chúng là hai số nguyên tố cùng nhau.

Với \(a = 3(10n + 7)\), \(b = 3\) và \(c = 7\), ta cũng thấy rằng \(3\) và \(10n + 7\) không có ước số chung nào ngoài \(1\), nên chúng cũng là hai số nguyên tố cùng nhau.

Do đó, \(12n + 1\) và \(30n + 21\) là hai số nguyên tố cùng nhau.